Quizz de Méthodologie des mathématiques (2020/2021)
Quentin Duchemin
Soient $E$ et $F$ deux ensembles, et $f:E \to F$ une application. On considère $A \subset E$ un sous-ensemble $\mathbf{fini}$ de $E$. Que dire de card($A$) et de card($f(A)$) ? (Par convention, card($C$)$=+\infty$ si l'ensemble $C$ n'est pas fini). On choisira la réponse donnant le résultat le plus informatif possible.
Soient $E$ et $F$ deux ensembles, et $f:E \to F$ une application. On considère $B \subset F$ un sous-ensemble $\mathbf{fini}$ de $F$. Que dire de card($B$) et de card($f^{-1}(B)$) ? (Par convention, card($C$)$=+\infty$ si l'ensemble $C$ n'est pas fini). On choisira la réponse donnant le résultat le plus informatif possible.
On considère $f:\mathbb N \to \mathbb N$ telle que $f(n)=n+1$.
On considère $f:\mathbb R \times \mathbb R \to \mathbb R$ telle que $$\forall (x,y) \in \mathbb R^2, \quad f(x,y)=x^2+y^2.$$
Cochez la ou les bonne(s) réponse(s).
Soit $ A$ une partie de $ E$, on appelle fonction caractéristique de $ A$ l'application $ f$ de $ E$ dans l'ensemble à deux éléments $ \{0, 1\}$, telle que :
$$\displaystyle f(x)=\begin{cases} 0& \text{ si } x\notin A \cr 1& \text{ si } x \in A \cr \end{cases}$$
Soit $ A$ et $ B$ deux parties de $ E$, $ f$ et $ g$ leurs fonctions caractéristiques. Montrer que les fonctions suivantes sont les fonctions caractéristiques d'ensembles que l'on déterminera :
$$ 1) \quad 1-f \quad \quad 2) \quad fg \quad \quad 3) \quad f+g-fg \quad \quad 4) \quad \max(1,f+g)-fg..$$
Dans un raisonnement par Analyse-Synthèse, la première partie de la démonstration (i.e. l'Analyse) consiste à ...
Dans un raisonnement par Analyse-Synthèse, la seconde partie de la démonstration (i.e. la Synthèse) consiste à ...
La proposition $\forall n \in \mathbb N, \; \exists k \in \mathbb N, \; n=k^2$ est-elle ...
On s'intéresse à l'importance de l'ordre des quantificateurs dans une proposition. Soit $\mathcal P_1$ la proposition $\exists k \in \mathbb N, \; \forall n \in \mathbb N , \; n^2=k$ et soit $\mathcal P_2$ la proposition $\forall n \in \mathbb N, \; \exists k \in \mathbb N, \; n^2=k$.
Soient $E$, $F$ et $G$ trois ensembles. Soient $f: E \to F$ et $g: F \to G$ deux applications. Montrer que si $f$ et $g$ sont injectives alors $g \circ f$ est injective.
On s'intéresse à la réciproque de la proposition de la question précédente. Est-ce que $g \circ f$ injective implique $f$ et $g$ injectives ?
Pour tout $n \in \mathbb N$, on note $E_n= \{ 1, \dots, n \}$. On note $\mathcal P(E_n)$ l’ensemble des parties de $E_n$. Quelles sont les bonnes réponses ?
Soit $E$ un ensemble et soit $A \subset E$ un sous-ensemble de $E$. Comment considère $X \subset E$ de façon à avoir $$(i) \quad X \cap A = A \quad \text{ et } \quad (ii) \quad X \cup A = E ?$$
Soit $ E$ l'ensemble des fonctions de $ \mathbb{N}$ dans $ \left\{ 1, 2, 3\right\}$. Pour $ i = 1, 2, 3$ on pose $ A_i = \left\{ f \in E | f (0) = i \right\}$. Montrer que les $ A_i$ forment une partition de $ E$.
Donner les positions relatives de $ A, B, C \subset E$ si $ A \cup B = B \cap C$.
Montrer par contraposition l'assertion suivante, $ E$ étant un ensemble :
$$ \forall A,B \in \mathcal{P}(E) \quad (A\cap B=A\cup B)\Rightarrow A=B,$$
Montrer par contraposition l'assertion suivante, $E$ étant un ensemble :
$$ \forall A,B,C \in \mathcal{P}(E) \quad (A\cap B=A\cap C \text{ et } A\cup B=A\cup C)\Rightarrow B=C.$$
Soit $\displaystyle I_1=\bigcap_{n=1}^{+\infty}\left[3,3+\frac{1}{n^2}\right[\;$.
On a:
Soit $\displaystyle \; I_2=\bigcap_{n=1}^{+\infty}\left]-2-\frac{1}{n},4+\frac{1}{n^2}\right].$
On a:
Soit $\displaystyle \; I_3=\bigcup_{n=1}^{+\infty}\left[1+\frac{1}{n},n\right].$
On a:
Pour $n\in \mathbb N$,on définit l'ensemble $E_n=\{kn|k\in \mathbb N, k\geq 2\}$. On pose: $$E=\bigcup_{n \in \mathbb N,n\geq 2}E_n, \quad \text{et} \quad X=\mathbb N\backslash E.$$ Soit $\mathcal P$ l'ensemble des nombres premiers. Montrer que $X=\{0,1\}\cup \mathcal P$.