{"id":502,"date":"2021-04-09T20:27:18","date_gmt":"2021-04-09T20:27:18","guid":{"rendered":"http:\/\/quentin-duchemin.alwaysdata.net\/wiki\/?p=502"},"modified":"2025-08-08T12:37:44","modified_gmt":"2025-08-08T12:37:44","slug":"wigner-and-marcenko-pastur-theorems","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/quentin-duchemin.alwaysdata.net\/wiki\/index.php\/2021\/04\/09\/wigner-and-marcenko-pastur-theorems\/","title":{"rendered":"Wigner and Marcenko Pastur Theorems"},"content":{"rendered":"\n<p><\/p>\n\n\n\n<script type=\"text\/javascript\" src=\"http:\/\/cdn.mathjax.org\/mathjax\/latest\/MathJax.js?config=TeX-AMS-MML_HTMLorMML\">\n<\/script>\n\n\n\n<h2><br>I. Wigner&#8217;s theorem<\/h2>\n\n\n\n<p><strong>Definition<\/strong><br>Let <img loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/quentin-duchemin.alwaysdata.net\/wiki\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-40366d63a5ba7d05e12133af6b446aab_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#115;&#105;&#103;&#109;&#97;&#32;&#62;&#32;&#48;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"14\" width=\"43\" style=\"vertical-align: -2px;\"\/>. The probability distribution on <img loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/quentin-duchemin.alwaysdata.net\/wiki\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-850134d00bc1e927ba82f930550afb60_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#40;&#92;&#109;&#97;&#116;&#104;&#98;&#98;&#32;&#82;&#44;&#32;&#92;&#109;&#97;&#116;&#104;&#99;&#97;&#108;&#32;&#66;&#40;&#32;&#92;&#109;&#97;&#116;&#104;&#98;&#98;&#32;&#82;&#41;&#41;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"72\" style=\"vertical-align: -5px;\"\/> defined by<br><p class=\"ql-center-displayed-equation\" style=\"line-height: 36px;\"><span class=\"ql-right-eqno\"> &nbsp; <\/span><span class=\"ql-left-eqno\"> &nbsp; <\/span><img loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/quentin-duchemin.alwaysdata.net\/wiki\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-8d83c53990852d62a8d5af236ecfe7e3_l3.png\" height=\"36\" width=\"274\" class=\"ql-img-displayed-equation quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#91;&#92;&#109;&#97;&#116;&#104;&#98;&#98;&#32;&#80;&#95;&#123;&#115;&#99;&#44;&#32;&#92;&#115;&#105;&#103;&#109;&#97;&#94;&#50;&#125;&#32;&#40;&#100;&#120;&#41;&#32;&#61;&#32;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#49;&#125;&#123;&#50;&#92;&#112;&#105;&#32;&#92;&#115;&#105;&#103;&#109;&#97;&#94;&#50;&#125;&#92;&#115;&#113;&#114;&#116;&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#32;&#52;&#32;&#92;&#115;&#105;&#103;&#109;&#97;&#94;&#50;&#32;&#45;&#32;&#120;&#94;&#50;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#95;&#43;&#125;&#100;&#120;&#44;&#92;&#93;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\"\/><\/p><br>is called the semi-circular distribution. We denote <img loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/quentin-duchemin.alwaysdata.net\/wiki\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-de6ba70f8151216131084610caa2019f_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#109;&#97;&#116;&#104;&#98;&#98;&#32;&#80;&#95;&#123;&#115;&#99;&#44;&#49;&#125;&#32;&#61;&#32;&#92;&#109;&#97;&#116;&#104;&#98;&#98;&#32;&#80;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"69\" style=\"vertical-align: -6px;\"\/>.<\/p>\n\n\n\n<p><strong><em>Wigner&#8217;s Theorem<br><\/em><\/strong>&#8211; Let <img loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/quentin-duchemin.alwaysdata.net\/wiki\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-3486d938d6277699f0d025fee9f162de_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#88;&#95;&#123;&#105;&#106;&#125;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#95;&#123;&#49;&#92;&#108;&#101;&#113;&#32;&#105;&#32;&#60;&#106;&#32;&#92;&#108;&#101;&#113;&#32;&#78;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"23\" width=\"102\" style=\"vertical-align: -9px;\"\/> i.i.d. centered, complex valued and with <img loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/quentin-duchemin.alwaysdata.net\/wiki\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f5f19612c33082410b2aa32a721d2fc8_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#109;&#97;&#116;&#104;&#98;&#98;&#32;&#69;&#32;&#124;&#88;&#95;&#123;&#105;&#44;&#106;&#125;&#124;&#94;&#50;&#32;&#61;&#32;&#92;&#115;&#105;&#103;&#109;&#97;&#94;&#50;&#32;&#60;&#92;&#105;&#110;&#102;&#116;&#121;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"21\" width=\"142\" style=\"vertical-align: -6px;\"\/>. <br>&#8211; Let <img loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/quentin-duchemin.alwaysdata.net\/wiki\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d71367f77f82e9b7bea7cf61e76c2bcf_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#88;&#95;&#123;&#105;&#44;&#105;&#125;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#95;&#123;&#49;&#92;&#108;&#101;&#113;&#32;&#105;&#32;&#92;&#108;&#101;&#113;&#32;&#78;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"22\" width=\"87\" style=\"vertical-align: -8px;\"\/> i.i.d. centered, real valued with <img loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/quentin-duchemin.alwaysdata.net\/wiki\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f5f19612c33082410b2aa32a721d2fc8_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#109;&#97;&#116;&#104;&#98;&#98;&#32;&#69;&#32;&#124;&#88;&#95;&#123;&#105;&#44;&#106;&#125;&#124;&#94;&#50;&#32;&#61;&#32;&#92;&#115;&#105;&#103;&#109;&#97;&#94;&#50;&#32;&#60;&#92;&#105;&#110;&#102;&#116;&#121;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"21\" width=\"142\" style=\"vertical-align: -6px;\"\/>. <br>&#8211; The <img loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/quentin-duchemin.alwaysdata.net\/wiki\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-86f0f3717aa61f9fc5b2f60d97849fd0_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#88;&#95;&#123;&#105;&#44;&#105;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"29\" style=\"vertical-align: -6px;\"\/>&#8216;s and the <img loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/quentin-duchemin.alwaysdata.net\/wiki\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-0e4f56c5470edb68be95abe778a5c8ee_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#88;&#95;&#123;&#105;&#44;&#106;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"30\" style=\"vertical-align: -6px;\"\/> &#8216;s (<img loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/quentin-duchemin.alwaysdata.net\/wiki\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-25f63a32c2414b18b25f14b4bf939cb6_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#105;&#32;&#60;&#32;&#106;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"16\" width=\"38\" style=\"vertical-align: -4px;\"\/>) are independent. <br>&#8211; Consider <img loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/quentin-duchemin.alwaysdata.net\/wiki\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d59b70a4a7b128bebc466ddd302b28f1_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#88;&#95;&#78;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"15\" width=\"27\" style=\"vertical-align: -3px;\"\/> and <img loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/quentin-duchemin.alwaysdata.net\/wiki\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-6ae488b5fadd41992cee85b55791d7a1_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#89;&#95;&#78;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"15\" width=\"22\" style=\"vertical-align: -3px;\"\/> the <img loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/quentin-duchemin.alwaysdata.net\/wiki\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-4baf35605d041d4b70147e126302e8a7_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#78;&#32;&#92;&#116;&#105;&#109;&#101;&#115;&#32;&#78;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"54\" style=\"vertical-align: 0px;\"\/> hermitian matrices defined by <br><p class=\"ql-center-displayed-equation\" style=\"line-height: 43px;\"><span class=\"ql-right-eqno\"> &nbsp; <\/span><span class=\"ql-left-eqno\"> &nbsp; <\/span><img loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/quentin-duchemin.alwaysdata.net\/wiki\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-7e3a3864a666320b9ea8677e235ce603_l3.png\" height=\"43\" width=\"484\" class=\"ql-img-displayed-equation quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#91;&#92;&#102;&#111;&#114;&#97;&#108;&#108;&#32;&#105;&#44;&#106;&#32;&#92;&#105;&#110;&#32;&#91;&#78;&#93;&#44;&#32;&#92;&#113;&#117;&#97;&#100;&#32;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#88;&#95;&#78;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#95;&#123;&#105;&#44;&#106;&#125;&#32;&#61;&#32;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#92;&#123;&#92;&#98;&#101;&#103;&#105;&#110;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#123;&#108;&#108;&#125;&#32;&#88;&#95;&#123;&#105;&#44;&#106;&#125;&#32;&#38;&#32;&#92;&#109;&#98;&#111;&#120;&#123;&#105;&#102;&#32;&#32;&#125;&#32;&#105;&#92;&#108;&#101;&#113;&#32;&#106;&#32;&#92;&#92;&#92;&#111;&#118;&#101;&#114;&#108;&#105;&#110;&#101;&#123;&#88;&#125;&#95;&#123;&#106;&#44;&#105;&#125;&#32;&#38;&#32;&#92;&#109;&#98;&#111;&#120;&#123;&#105;&#102;&#32;&#32;&#125;&#32;&#105;&#62;&#32;&#106;&#92;&#101;&#110;&#100;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#46;&#32;&#92;&#113;&#117;&#97;&#100;&#32;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#32;&#32;&#97;&#110;&#100;&#32;&#125;&#32;&#92;&#113;&#117;&#97;&#100;&#32;&#89;&#95;&#78;&#32;&#61;&#32;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#88;&#95;&#78;&#125;&#123;&#92;&#115;&#113;&#114;&#116;&#32;&#78;&#125;&#46;&#92;&#93;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\"\/><\/p><br>Then almost surely,<br><p class=\"ql-center-displayed-equation\" style=\"line-height: 52px;\"><span class=\"ql-right-eqno\"> &nbsp; <\/span><span class=\"ql-left-eqno\"> &nbsp; <\/span><img loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/quentin-duchemin.alwaysdata.net\/wiki\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d2f0fe5e2959a696de06bd667a2b9159_l3.png\" height=\"52\" width=\"249\" class=\"ql-img-displayed-equation quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#91;&#76;&#95;&#78;&#32;&#61;&#32;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#49;&#125;&#123;&#78;&#125;&#32;&#92;&#115;&#117;&#109;&#95;&#123;&#105;&#61;&#49;&#125;&#94;&#78;&#32;&#32;&#92;&#100;&#101;&#108;&#116;&#97;&#95;&#123;&#92;&#108;&#97;&#109;&#98;&#100;&#97;&#95;&#105;&#40;&#89;&#95;&#78;&#41;&#125;&#32;&#92;&#111;&#118;&#101;&#114;&#115;&#101;&#116;&#123;&#92;&#109;&#97;&#116;&#104;&#99;&#97;&#108;&#32;&#68;&#125;&#123;&#92;&#117;&#110;&#100;&#101;&#114;&#115;&#101;&#116;&#123;&#78;&#32;&#92;&#116;&#111;&#32;&#92;&#105;&#110;&#102;&#116;&#121;&#125;&#123;&#92;&#108;&#111;&#110;&#103;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#97;&#114;&#114;&#111;&#119;&#32;&#125;&#125;&#32;&#92;&#109;&#97;&#116;&#104;&#98;&#98;&#32;&#32;&#80;&#95;&#123;&#115;&#99;&#44;&#92;&#115;&#105;&#103;&#109;&#97;&#94;&#50;&#125;&#44;&#92;&#93;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\"\/><\/p><br>where <img loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/quentin-duchemin.alwaysdata.net\/wiki\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-83f8dc4e3c66364570088890d4ef2f78_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#40;&#92;&#108;&#97;&#109;&#98;&#100;&#97;&#95;&#105;&#40;&#89;&#95;&#78;&#41;&#41;&#95;&#105;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"71\" style=\"vertical-align: -5px;\"\/> are the (real) eigenvalues of the matrix <img loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/quentin-duchemin.alwaysdata.net\/wiki\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-6ae488b5fadd41992cee85b55791d7a1_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#89;&#95;&#78;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"15\" width=\"22\" style=\"vertical-align: -3px;\"\/>. <\/p>\n\n\n\n<p><\/p>\n\n\n\n<figure class=\"wp-block-video\"><video controls src=\"http:\/\/quentin-duchemin.alwaysdata.net\/wiki\/wp-content\/uploads\/2021\/03\/out-1.mp4\"><\/video><figcaption>The semi-circular distribution (in red) and the empirical measure <img loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/quentin-duchemin.alwaysdata.net\/wiki\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-9b661e5ac39da36596e22e03bead28c3_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#76;&#95;&#78;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"15\" width=\"24\" style=\"vertical-align: -3px;\"\/> (in cyan) for different values of <img loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/quentin-duchemin.alwaysdata.net\/wiki\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-5793832f979c2268e3694c246d53b1bb_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#78;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"16\" style=\"vertical-align: 0px;\"\/>. <\/figcaption><\/figure>\n\n\n\n<p><em>Proof<\/em><\/p>\n\n\n\n<ol><li>Show that semi circular law is characterized by its moments (using a corollary of Carleman theorem). Compute the moments of the smi-circular law (and find the Catalan numbers).<\/li><li>Compute the moments of the spectral density of the Wigner matrix.<\/li><li>Show that the moments convergences to the Catalan numbers.<\/li><li>Convergence of moments  + limit distribution characterized by moments   -&gt; weak convergence<\/li><\/ol>\n\n\n\n<p><strong>Additional results<\/strong><\/p>\n\n\n\n<ul><li>If <img loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/quentin-duchemin.alwaysdata.net\/wiki\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-3c59566acae0ff2f552aad8f899b2e36_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#109;&#97;&#116;&#104;&#98;&#98;&#32;&#69;&#32;&#124;&#88;&#95;&#123;&#105;&#44;&#106;&#125;&#124;&#94;&#52;&#60;&#92;&#105;&#110;&#102;&#116;&#121;&#44;&#32;&#92;&#113;&#117;&#97;&#100;&#32;&#92;&#102;&#111;&#114;&#97;&#108;&#108;&#32;&#105;&#44;&#106;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"21\" width=\"158\" style=\"vertical-align: -6px;\"\/>, then <p class=\"ql-center-displayed-equation\" style=\"line-height: 30px;\"><span class=\"ql-right-eqno\"> &nbsp; <\/span><span class=\"ql-left-eqno\"> &nbsp; <\/span><img loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/quentin-duchemin.alwaysdata.net\/wiki\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-5b0523013263b9684c8aa96748d09f43_l3.png\" height=\"30\" width=\"381\" class=\"ql-img-displayed-equation quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#91;&#92;&#108;&#97;&#109;&#98;&#100;&#97;&#95;&#123;&#92;&#109;&#97;&#120;&#125;&#40;&#89;&#95;&#78;&#41;&#32;&#92;&#111;&#118;&#101;&#114;&#115;&#101;&#116;&#123;&#97;&#46;&#115;&#46;&#125;&#123;&#92;&#117;&#110;&#100;&#101;&#114;&#115;&#101;&#116;&#123;&#78;&#32;&#92;&#116;&#111;&#32;&#92;&#105;&#110;&#102;&#116;&#121;&#125;&#123;&#92;&#116;&#111;&#125;&#125;&#32;&#50;&#32;&#92;&#115;&#105;&#103;&#109;&#97;&#94;&#50;&#32;&#92;&#113;&#117;&#97;&#100;&#32;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#97;&#110;&#100;&#125;&#32;&#92;&#113;&#117;&#97;&#100;&#32;&#32;&#92;&#108;&#97;&#109;&#98;&#100;&#97;&#95;&#123;&#92;&#109;&#105;&#110;&#125;&#40;&#89;&#95;&#78;&#41;&#32;&#92;&#111;&#118;&#101;&#114;&#115;&#101;&#116;&#123;&#97;&#46;&#115;&#46;&#125;&#123;&#92;&#117;&#110;&#100;&#101;&#114;&#115;&#101;&#116;&#123;&#78;&#32;&#92;&#116;&#111;&#32;&#92;&#105;&#110;&#102;&#116;&#121;&#125;&#123;&#92;&#116;&#111;&#125;&#125;&#32;&#45;&#50;&#32;&#92;&#115;&#105;&#103;&#109;&#97;&#94;&#50;&#46;&#92;&#93;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\"\/><\/p><br>In particular, <p class=\"ql-center-displayed-equation\" style=\"line-height: 30px;\"><span class=\"ql-right-eqno\"> &nbsp; <\/span><span class=\"ql-left-eqno\"> &nbsp; <\/span><img loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/quentin-duchemin.alwaysdata.net\/wiki\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-0be856b379689cac93289bedf17276c7_l3.png\" height=\"30\" width=\"376\" class=\"ql-img-displayed-equation quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#91;&#92;&#124;&#89;&#95;&#78;&#92;&#124;&#32;&#61;&#32;&#92;&#109;&#97;&#120;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#32;&#124;&#92;&#108;&#97;&#109;&#98;&#100;&#97;&#95;&#123;&#92;&#109;&#97;&#120;&#125;&#40;&#89;&#95;&#78;&#41;&#124;&#32;&#92;&#59;&#32;&#44;&#32;&#92;&#59;&#32;&#124;&#92;&#108;&#97;&#109;&#98;&#100;&#97;&#95;&#123;&#92;&#109;&#105;&#110;&#125;&#40;&#89;&#95;&#78;&#41;&#124;&#32;&#32;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#32;&#92;&#111;&#118;&#101;&#114;&#115;&#101;&#116;&#123;&#97;&#46;&#115;&#46;&#125;&#123;&#92;&#117;&#110;&#100;&#101;&#114;&#115;&#101;&#116;&#123;&#78;&#32;&#92;&#116;&#111;&#32;&#92;&#105;&#110;&#102;&#116;&#121;&#125;&#123;&#92;&#116;&#111;&#125;&#125;&#32;&#50;&#92;&#115;&#105;&#103;&#109;&#97;&#94;&#50;&#46;&#92;&#93;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\"\/><\/p><\/li><li>If <img loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/quentin-duchemin.alwaysdata.net\/wiki\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-cdb31bd0bb6f1c514144f6819088a999_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#109;&#97;&#116;&#104;&#98;&#98;&#32;&#69;&#32;&#124;&#88;&#95;&#123;&#105;&#44;&#106;&#125;&#124;&#94;&#52;&#61;&#92;&#105;&#110;&#102;&#116;&#121;&#44;&#92;&#113;&#117;&#97;&#100;&#32;&#92;&#102;&#111;&#114;&#97;&#108;&#108;&#32;&#105;&#44;&#106;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"21\" width=\"158\" style=\"vertical-align: -6px;\"\/>, then <p class=\"ql-center-displayed-equation\" style=\"line-height: 29px;\"><span class=\"ql-right-eqno\"> &nbsp; <\/span><span class=\"ql-left-eqno\"> &nbsp; <\/span><img loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/quentin-duchemin.alwaysdata.net\/wiki\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-7b8aebca2157fe3c636ac743e79b7f54_l3.png\" height=\"29\" width=\"159\" class=\"ql-img-displayed-equation quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#91;&#92;&#108;&#97;&#109;&#98;&#100;&#97;&#95;&#123;&#92;&#109;&#97;&#120;&#125;&#40;&#89;&#95;&#78;&#41;&#32;&#92;&#111;&#118;&#101;&#114;&#115;&#101;&#116;&#123;&#97;&#46;&#115;&#46;&#125;&#123;&#92;&#117;&#110;&#100;&#101;&#114;&#115;&#101;&#116;&#123;&#78;&#32;&#92;&#116;&#111;&#32;&#92;&#105;&#110;&#102;&#116;&#121;&#125;&#123;&#92;&#116;&#111;&#125;&#125;&#32;&#43;&#32;&#92;&#105;&#110;&#102;&#116;&#121;&#46;&#92;&#93;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\"\/><\/p><\/li><\/ul>\n\n\n\n<p><strong>Remark<\/strong>.<br>We refer to the paper <a href=\"https:\/\/link.springer.com\/content\/pdf\/10.1007\/BF02579329.pdf\">&#8220;The eigenvalues of random symmetric matrices&#8221;<\/a> to get an extension of the Wigner&#8217;s Theorem.<\/p>\n\n\n\n<h2>II. Marcenko pastur<\/h2>\n\n\n\n<h3>1. Preliminaries<\/h3>\n\n\n\n<h3>a) Key results for the proof of the Marcenko-Pastur Theorem<\/h3>\n\n\n\n<p><strong>Definition<br><\/strong><em>Let us consider <img loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/quentin-duchemin.alwaysdata.net\/wiki\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-461fe1a58a75801541487ddf10d32abd_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#109;&#117;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"11\" style=\"vertical-align: -4px;\"\/> a probability measure on <img loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/quentin-duchemin.alwaysdata.net\/wiki\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-5e08bcc1c028548c46daac93780d85a0_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#40;&#92;&#109;&#97;&#116;&#104;&#98;&#98;&#32;&#82;&#44;&#32;&#92;&#109;&#97;&#116;&#104;&#99;&#97;&#108;&#32;&#66;&#40;&#92;&#109;&#97;&#116;&#104;&#98;&#98;&#32;&#82;&#41;&#41;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"72\" style=\"vertical-align: -5px;\"\/>. The Stieltjes transform of <img loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/quentin-duchemin.alwaysdata.net\/wiki\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-461fe1a58a75801541487ddf10d32abd_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#109;&#117;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"11\" style=\"vertical-align: -4px;\"\/> denoted <img loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/quentin-duchemin.alwaysdata.net\/wiki\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-0e26a217025cef160b077fd294c71eec_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#103;&#92;&#101;&#113;&#117;&#105;&#118;&#32;&#103;&#95;&#123;&#92;&#109;&#117;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"14\" width=\"49\" style=\"vertical-align: -6px;\"\/> is defined by <\/em><p class=\"ql-center-displayed-equation\" style=\"line-height: 42px;\"><span class=\"ql-right-eqno\"> &nbsp; <\/span><span class=\"ql-left-eqno\"> &nbsp; <\/span><img loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/quentin-duchemin.alwaysdata.net\/wiki\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-15231ace025e02463a0569b71d98f008_l3.png\" height=\"42\" width=\"417\" class=\"ql-img-displayed-equation quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#91;&#92;&#102;&#111;&#114;&#97;&#108;&#108;&#32;&#122;&#32;&#92;&#105;&#110;&#32;&#92;&#109;&#97;&#116;&#104;&#98;&#98;&#32;&#67;&#94;&#43;&#58;&#61;&#92;&#123;&#117;&#32;&#92;&#105;&#110;&#32;&#92;&#109;&#97;&#116;&#104;&#98;&#98;&#32;&#67;&#32;&#92;&#59;&#32;&#58;&#32;&#92;&#59;&#32;&#73;&#109;&#40;&#117;&#41;&#62;&#48;&#92;&#125;&#44;&#32;&#92;&#113;&#117;&#97;&#100;&#32;&#103;&#40;&#122;&#41;&#32;&#61;&#32;&#92;&#105;&#110;&#116;&#95;&#123;&#92;&#109;&#97;&#116;&#104;&#98;&#98;&#32;&#82;&#125;&#32;&#32;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#92;&#109;&#117;&#40;&#100;&#92;&#108;&#97;&#109;&#98;&#100;&#97;&#41;&#125;&#123;&#92;&#108;&#97;&#109;&#98;&#100;&#97;&#32;&#45;&#122;&#125;&#32;&#32;&#46;&#92;&#93;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\"\/><\/p><\/p>\n\n\n\n<p><strong>Theorem (Properties of the Stieltjes Transform)<br><\/strong><em>Let <img loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/quentin-duchemin.alwaysdata.net\/wiki\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-461fe1a58a75801541487ddf10d32abd_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#109;&#117;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"11\" style=\"vertical-align: -4px;\"\/> be some measure on <img loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/quentin-duchemin.alwaysdata.net\/wiki\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-5e08bcc1c028548c46daac93780d85a0_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#40;&#92;&#109;&#97;&#116;&#104;&#98;&#98;&#32;&#82;&#44;&#32;&#92;&#109;&#97;&#116;&#104;&#99;&#97;&#108;&#32;&#66;&#40;&#92;&#109;&#97;&#116;&#104;&#98;&#98;&#32;&#82;&#41;&#41;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"72\" style=\"vertical-align: -5px;\"\/> with Stieltjes Transform <img loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/quentin-duchemin.alwaysdata.net\/wiki\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d208fd391fa57c168dc0f151de829fee_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#103;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"9\" style=\"vertical-align: -4px;\"\/>.<\/em><\/p>\n\n\n\n<ol><li><em><img loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/quentin-duchemin.alwaysdata.net\/wiki\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d208fd391fa57c168dc0f151de829fee_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#103;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"9\" style=\"vertical-align: -4px;\"\/> is analytic on   <img loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/quentin-duchemin.alwaysdata.net\/wiki\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d948502e526a08d69fe4eed0210860ff_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#109;&#97;&#116;&#104;&#98;&#98;&#32;&#67;&#94;&#43;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"14\" width=\"23\" style=\"vertical-align: 0px;\"\/>.<\/em><\/li><li><em><img loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/quentin-duchemin.alwaysdata.net\/wiki\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-0d740dccb52669a89ff6134ed25dca6b_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#103;&#40;&#92;&#109;&#97;&#116;&#104;&#98;&#98;&#32;&#67;&#94;&#43;&#41;&#32;&#92;&#115;&#117;&#98;&#115;&#101;&#116;&#32;&#92;&#109;&#97;&#116;&#104;&#98;&#98;&#32;&#67;&#94;&#43;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"99\" style=\"vertical-align: -5px;\"\/><\/em><\/li><li>If Supp(<img loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/quentin-duchemin.alwaysdata.net\/wiki\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-461fe1a58a75801541487ddf10d32abd_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#109;&#117;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"11\" style=\"vertical-align: -4px;\"\/>) <img loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/quentin-duchemin.alwaysdata.net\/wiki\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-e5da2ce8d32cd771fc476ea3821b4791_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#115;&#117;&#98;&#115;&#101;&#116;&#32;&#92;&#109;&#97;&#116;&#104;&#98;&#98;&#32;&#82;&#94;&#43;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"15\" width=\"41\" style=\"vertical-align: -1px;\"\/>, then <img loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/quentin-duchemin.alwaysdata.net\/wiki\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-8e9d8b6aec244dccdd7b09c6df025eeb_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#73;&#109;&#40;&#122;&#103;&#40;&#122;&#41;&#41;&#92;&#103;&#101;&#113;&#32;&#48;&#44;&#32;&#92;&#113;&#117;&#97;&#100;&#32;&#92;&#102;&#111;&#114;&#97;&#108;&#108;&#32;&#122;&#32;&#92;&#105;&#110;&#32;&#92;&#109;&#97;&#116;&#104;&#98;&#98;&#32;&#67;&#94;&#43;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"201\" style=\"vertical-align: -5px;\"\/>.<\/li><li><img loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/quentin-duchemin.alwaysdata.net\/wiki\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-30381577bf59331fcc2b2c3a49fd88dc_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#117;&#110;&#100;&#101;&#114;&#115;&#101;&#116;&#123;&#121;&#32;&#92;&#116;&#111;&#32;&#43;&#32;&#92;&#105;&#110;&#102;&#116;&#121;&#125;&#123;&#92;&#108;&#105;&#109;&#125;&#32;&#105;&#121;&#103;&#40;&#105;&#121;&#41;&#61;&#45;&#92;&#109;&#117;&#40;&#92;&#109;&#97;&#116;&#104;&#98;&#98;&#32;&#82;&#41;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"28\" width=\"174\" style=\"vertical-align: -14px;\"\/>.<\/li><li><img loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/quentin-duchemin.alwaysdata.net\/wiki\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-b63a87ec5c8118fe1069e49011534298_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#102;&#111;&#114;&#97;&#108;&#108;&#32;&#122;&#32;&#92;&#105;&#110;&#32;&#92;&#109;&#97;&#116;&#104;&#98;&#98;&#32;&#67;&#94;&#43;&#44;&#32;&#92;&#113;&#117;&#97;&#100;&#32;&#124;&#103;&#40;&#122;&#41;&#124;&#32;&#92;&#108;&#101;&#113;&#32;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#92;&#109;&#117;&#40;&#92;&#109;&#97;&#116;&#104;&#98;&#98;&#32;&#82;&#41;&#125;&#123;&#73;&#109;&#40;&#122;&#41;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"29\" width=\"195\" style=\"vertical-align: -10px;\"\/>.<\/li><li><img loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/quentin-duchemin.alwaysdata.net\/wiki\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-68a996228812a57f12e505456fd51e5d_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#102;&#111;&#114;&#97;&#108;&#108;&#32;&#120;&#32;&#92;&#105;&#110;&#32;&#92;&#109;&#97;&#116;&#104;&#98;&#98;&#32;&#82;&#44;&#92;&#113;&#117;&#97;&#100;&#32;&#92;&#109;&#117;&#32;&#92;&#123;&#120;&#92;&#125;&#32;&#61;&#32;&#92;&#117;&#110;&#100;&#101;&#114;&#115;&#101;&#116;&#123;&#121;&#92;&#116;&#111;&#32;&#48;&#94;&#43;&#125;&#123;&#92;&#108;&#105;&#109;&#125;&#32;&#121;&#32;&#73;&#109;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#32;&#32;&#103;&#40;&#120;&#43;&#105;&#121;&#41;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"30\" width=\"308\" style=\"vertical-align: -16px;\"\/><\/li><li>For any <img loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/quentin-duchemin.alwaysdata.net\/wiki\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d0ce565f7eea47b603eeb3fd54516800_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#102;&#58;&#92;&#109;&#97;&#116;&#104;&#98;&#98;&#32;&#82;&#32;&#92;&#116;&#111;&#32;&#92;&#109;&#97;&#116;&#104;&#98;&#98;&#32;&#82;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"16\" width=\"79\" style=\"vertical-align: -4px;\"\/> is bounded and continuous, <p class=\"ql-center-displayed-equation\" style=\"line-height: 40px;\"><span class=\"ql-right-eqno\"> &nbsp; <\/span><span class=\"ql-left-eqno\"> &nbsp; <\/span><img loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/quentin-duchemin.alwaysdata.net\/wiki\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a9f85d32bb5a9be7eccc397ba78825f8_l3.png\" height=\"40\" width=\"323\" class=\"ql-img-displayed-equation quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#91;&#92;&#105;&#110;&#116;&#32;&#102;&#32;&#100;&#92;&#109;&#117;&#32;&#61;&#32;&#92;&#117;&#110;&#100;&#101;&#114;&#115;&#101;&#116;&#123;&#121;&#92;&#116;&#111;&#32;&#48;&#94;&#43;&#125;&#123;&#92;&#108;&#105;&#109;&#125;&#32;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#49;&#125;&#123;&#92;&#112;&#105;&#125;&#32;&#92;&#105;&#110;&#116;&#32;&#102;&#40;&#120;&#41;&#32;&#73;&#109;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#32;&#103;&#40;&#120;&#43;&#105;&#121;&#41;&#32;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#100;&#120;&#46;&#92;&#93;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\"\/><\/p><\/li><li>For all <img loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/quentin-duchemin.alwaysdata.net\/wiki\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-6b8151d602b1c217a45016f02ace087c_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#97;&#44;&#98;&#32;&#92;&#105;&#110;&#32;&#92;&#109;&#97;&#116;&#104;&#98;&#98;&#32;&#82;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"16\" width=\"60\" style=\"vertical-align: -4px;\"\/> points of continuity of <img loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/quentin-duchemin.alwaysdata.net\/wiki\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-461fe1a58a75801541487ddf10d32abd_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#109;&#117;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"11\" style=\"vertical-align: -4px;\"\/>, <p class=\"ql-center-displayed-equation\" style=\"line-height: 44px;\"><span class=\"ql-right-eqno\"> &nbsp; <\/span><span class=\"ql-left-eqno\"> &nbsp; <\/span><img loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/quentin-duchemin.alwaysdata.net\/wiki\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-6e55c17cc7e43bce1704118c4960f435_l3.png\" height=\"44\" width=\"254\" class=\"ql-img-displayed-equation quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#91;&#32;&#92;&#109;&#117;&#32;&#92;&#59;&#32;&#40;&#97;&#44;&#98;&#41;&#61;&#92;&#117;&#110;&#100;&#101;&#114;&#115;&#101;&#116;&#123;&#121;&#92;&#116;&#111;&#32;&#48;&#94;&#43;&#125;&#123;&#92;&#108;&#105;&#109;&#125;&#32;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#49;&#125;&#123;&#92;&#112;&#105;&#125;&#32;&#92;&#105;&#110;&#116;&#95;&#97;&#94;&#98;&#32;&#103;&#40;&#120;&#43;&#105;&#121;&#41;&#100;&#120;&#46;&#32;&#92;&#93;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\"\/><\/p><\/li><\/ol>\n\n\n\n<p><strong>Remark. <\/strong>The previous Theorem states that the Stieltjes Transform is analytic on <img loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/quentin-duchemin.alwaysdata.net\/wiki\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d948502e526a08d69fe4eed0210860ff_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#109;&#97;&#116;&#104;&#98;&#98;&#32;&#67;&#94;&#43;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"14\" width=\"23\" style=\"vertical-align: 0px;\"\/> and  when <img loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/quentin-duchemin.alwaysdata.net\/wiki\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ef23cfa62512bf1a0ec1c7bbdd413376_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#122;&#32;&#92;&#105;&#110;&#32;&#92;&#109;&#97;&#116;&#104;&#98;&#98;&#32;&#67;&#94;&#43;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"15\" width=\"54\" style=\"vertical-align: -1px;\"\/> goes to the real axis, the holomorph property is lost but  this allows to recover the measure <img loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/quentin-duchemin.alwaysdata.net\/wiki\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-461fe1a58a75801541487ddf10d32abd_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#109;&#117;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"11\" style=\"vertical-align: -4px;\"\/> (see properties 6, 7 and 8). <\/p>\n\n\n\n<p><span class=\"has-inline-color has-vivid-red-color\"><strong>Theorem (Weak convergence and pointwise convergence of Stieltjes Transform)<\/strong><br><\/span><em>Let us consider <img loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/quentin-duchemin.alwaysdata.net\/wiki\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-fd2d72fa28a851cd178c02cdce8761cb_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#40;&#92;&#109;&#117;&#95;&#110;&#41;&#95;&#110;&#44;&#92;&#109;&#117;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"61\" style=\"vertical-align: -5px;\"\/> probability measures on <img loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/quentin-duchemin.alwaysdata.net\/wiki\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-4f3946bf347fcf445aa7f85ebc46f4c1_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#109;&#97;&#116;&#104;&#98;&#98;&#32;&#82;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"13\" style=\"vertical-align: 0px;\"\/>.<\/em><\/p>\n\n\n\n<ol><li><em>If <img loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/quentin-duchemin.alwaysdata.net\/wiki\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-cf3e6f78aeac5b11fcd3ce70ce1f010c_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#109;&#117;&#95;&#110;&#32;&#92;&#111;&#118;&#101;&#114;&#115;&#101;&#116;&#123;&#92;&#109;&#97;&#116;&#104;&#99;&#97;&#108;&#32;&#68;&#125;&#123;&#92;&#117;&#110;&#100;&#101;&#114;&#115;&#101;&#116;&#123;&#110;&#32;&#92;&#116;&#111;&#32;&#92;&#105;&#110;&#102;&#116;&#121;&#125;&#123;&#92;&#116;&#111;&#125;&#125;&#32;&#92;&#109;&#117;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"31\" width=\"77\" style=\"vertical-align: -12px;\"\/>, then <p class=\"ql-center-displayed-equation\" style=\"line-height: 27px;\"><span class=\"ql-right-eqno\"> &nbsp; <\/span><span class=\"ql-left-eqno\"> &nbsp; <\/span><img loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/quentin-duchemin.alwaysdata.net\/wiki\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-38ff5cba35171c5eca474f6b74a6cd35_l3.png\" height=\"27\" width=\"229\" class=\"ql-img-displayed-equation quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#91;&#92;&#102;&#111;&#114;&#97;&#108;&#108;&#32;&#122;&#32;&#92;&#105;&#110;&#32;&#92;&#109;&#97;&#116;&#104;&#98;&#98;&#32;&#67;&#94;&#43;&#44;&#32;&#92;&#113;&#117;&#97;&#100;&#32;&#103;&#95;&#123;&#92;&#109;&#117;&#95;&#110;&#125;&#40;&#122;&#41;&#32;&#92;&#117;&#110;&#100;&#101;&#114;&#115;&#101;&#116;&#123;&#110;&#32;&#92;&#116;&#111;&#32;&#92;&#105;&#110;&#102;&#116;&#121;&#125;&#123;&#92;&#116;&#111;&#125;&#32;&#103;&#95;&#123;&#92;&#109;&#117;&#125;&#40;&#122;&#41;&#46;&#92;&#93;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\"\/><\/p><\/em><br><\/li><li><em>a) Let us consider <img loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/quentin-duchemin.alwaysdata.net\/wiki\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-5e4a0df4e7a77d62a1d0270f216f7c26_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#68;&#32;&#92;&#115;&#117;&#98;&#115;&#101;&#116;&#32;&#92;&#109;&#97;&#116;&#104;&#98;&#98;&#32;&#67;&#94;&#43;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"15\" width=\"62\" style=\"vertical-align: -1px;\"\/> with an accumulation point. If <img loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/quentin-duchemin.alwaysdata.net\/wiki\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-e19d1dbf5d31612c71548345e86bedd5_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#103;&#95;&#123;&#92;&#109;&#117;&#95;&#110;&#125;&#40;&#122;&#41;&#32;&#92;&#117;&#110;&#100;&#101;&#114;&#115;&#101;&#116;&#123;&#110;&#32;&#92;&#116;&#111;&#32;&#92;&#105;&#110;&#102;&#116;&#121;&#125;&#123;&#92;&#116;&#111;&#125;&#32;&#103;&#40;&#122;&#41;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"26\" width=\"125\" style=\"vertical-align: -12px;\"\/> for all <img loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/quentin-duchemin.alwaysdata.net\/wiki\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-73637a3e2d15c4f116255da19a899a85_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#122;&#92;&#105;&#110;&#32;&#68;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"13\" width=\"46\" style=\"vertical-align: -1px;\"\/>, then   <br>&#8211; there exists a measure  <img loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/quentin-duchemin.alwaysdata.net\/wiki\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-84f850cb7d68cf5b0b1a685b849a8674_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#110;&#117;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"8\" width=\"10\" style=\"vertical-align: 0px;\"\/> satisfying  <img loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/quentin-duchemin.alwaysdata.net\/wiki\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-e2a3757588eaf42a63b2b52418915a77_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#110;&#117;&#40;&#92;&#109;&#97;&#116;&#104;&#98;&#98;&#32;&#82;&#41;&#32;&#92;&#108;&#101;&#113;&#32;&#49;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"68\" style=\"vertical-align: -5px;\"\/> such that <p class=\"ql-center-displayed-equation\" style=\"line-height: 41px;\"><span class=\"ql-right-eqno\"> &nbsp; <\/span><span class=\"ql-left-eqno\"> &nbsp; <\/span><img loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/quentin-duchemin.alwaysdata.net\/wiki\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-32779992a1ae8ecb8e60aaddf4f19c17_l3.png\" height=\"41\" width=\"218\" class=\"ql-img-displayed-equation quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#91;&#32;&#103;&#40;&#122;&#41;&#61;&#32;&#92;&#105;&#110;&#116;&#32;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#92;&#110;&#117;&#40;&#100;&#92;&#108;&#97;&#109;&#98;&#100;&#97;&#41;&#125;&#123;&#92;&#108;&#97;&#109;&#98;&#100;&#97;&#32;&#45;&#122;&#125;&#44;&#32;&#92;&#113;&#117;&#97;&#100;&#32;&#92;&#102;&#111;&#114;&#97;&#108;&#108;&#32;&#122;&#32;&#92;&#105;&#110;&#32;&#92;&#109;&#97;&#116;&#104;&#98;&#98;&#32;&#67;&#94;&#43;&#46;&#92;&#93;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\"\/><\/p><br>&#8211; <img loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/quentin-duchemin.alwaysdata.net\/wiki\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-9d79d413059a1ed6f7779b2ad4399640_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#109;&#117;&#95;&#110;&#32;&#92;&#111;&#118;&#101;&#114;&#115;&#101;&#116;&#123;&#118;&#125;&#123;&#92;&#117;&#110;&#100;&#101;&#114;&#115;&#101;&#116;&#123;&#110;&#32;&#92;&#116;&#111;&#32;&#92;&#105;&#110;&#102;&#116;&#121;&#125;&#123;&#92;&#116;&#111;&#125;&#125;&#32;&#92;&#110;&#117;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"28\" width=\"78\" style=\"vertical-align: -12px;\"\/><\/em><br><br><em>b) If it also holds that <img loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/quentin-duchemin.alwaysdata.net\/wiki\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-7258ea58a0dbdc1c44ac57a2a8295a3a_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#108;&#105;&#109;&#95;&#123;&#121;&#32;&#92;&#116;&#111;&#32;&#43;&#32;&#92;&#105;&#110;&#102;&#116;&#121;&#125;&#32;&#105;&#121;&#32;&#103;&#40;&#105;&#121;&#41;&#61;&#45;&#49;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"173\" style=\"vertical-align: -6px;\"\/> (i.e. <img loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/quentin-duchemin.alwaysdata.net\/wiki\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-cd786fb1c27bca39b59f57ece196cf93_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#110;&#117;&#40;&#92;&#109;&#97;&#116;&#104;&#98;&#98;&#32;&#82;&#41;&#61;&#49;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"68\" style=\"vertical-align: -5px;\"\/> from point 4) of the previous Theorem), then <img loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/quentin-duchemin.alwaysdata.net\/wiki\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-84f850cb7d68cf5b0b1a685b849a8674_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#110;&#117;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"8\" width=\"10\" style=\"vertical-align: 0px;\"\/> is a probability measure and <img loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/quentin-duchemin.alwaysdata.net\/wiki\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-50feedd5227486b10a00e8cc272a6525_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#109;&#117;&#95;&#110;&#32;&#92;&#111;&#118;&#101;&#114;&#115;&#101;&#116;&#123;&#92;&#109;&#97;&#116;&#104;&#99;&#97;&#108;&#32;&#68;&#125;&#123;&#92;&#117;&#110;&#100;&#101;&#114;&#115;&#101;&#116;&#123;&#110;&#32;&#92;&#116;&#111;&#32;&#92;&#105;&#110;&#102;&#116;&#121;&#125;&#123;&#92;&#116;&#111;&#125;&#125;&#32;&#92;&#110;&#117;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"31\" width=\"76\" style=\"vertical-align: -12px;\"\/>.<\/em><\/li><\/ol>\n\n\n\n<p>The previous Theorem can be seen as the counterpart of the famous Levy Theorem. The Levy Theorem states the link  between the weak convergence and the pointwise convergence of the characteristic function. <\/p>\n\n\n\n<p><strong>Definition<br><\/strong><em>The characteristic function of a real-valued random variable <img loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/quentin-duchemin.alwaysdata.net\/wiki\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d4ee28752517d6062a3ca0314890342d_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#88;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"16\" style=\"vertical-align: 0px;\"\/> is defined by <\/em><p class=\"ql-center-displayed-equation\" style=\"line-height: 32px;\"><span class=\"ql-right-eqno\"> &nbsp; <\/span><span class=\"ql-left-eqno\"> &nbsp; <\/span><img loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/quentin-duchemin.alwaysdata.net\/wiki\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-10fcf6be2491bd3ea5d2a381ad7d58c8_l3.png\" height=\"32\" width=\"219\" class=\"ql-img-displayed-equation quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#91;&#92;&#102;&#111;&#114;&#97;&#108;&#108;&#32;&#92;&#120;&#105;&#32;&#92;&#105;&#110;&#32;&#92;&#109;&#97;&#116;&#104;&#98;&#98;&#32;&#82;&#44;&#32;&#92;&#113;&#117;&#97;&#100;&#32;&#92;&#112;&#104;&#105;&#95;&#88;&#40;&#92;&#120;&#105;&#41;&#32;&#61;&#32;&#92;&#109;&#97;&#116;&#104;&#98;&#98;&#32;&#69;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#91;&#32;&#101;&#94;&#123;&#105;&#88;&#92;&#120;&#105;&#125;&#32;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#93;&#46;&#92;&#93;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\"\/><\/p><\/p>\n\n\n\n<p><strong>Theorem (Levy)<\/strong><br><em>Let us consider real-valued random variables <img loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/quentin-duchemin.alwaysdata.net\/wiki\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-24249850b77cddaecbc7536ee29af013_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#40;&#88;&#95;&#110;&#41;&#95;&#110;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"45\" style=\"vertical-align: -5px;\"\/> and <img loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/quentin-duchemin.alwaysdata.net\/wiki\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d4ee28752517d6062a3ca0314890342d_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#88;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"16\" style=\"vertical-align: 0px;\"\/>.<\/em><\/p>\n\n\n\n<ol><li><em>If <img loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/quentin-duchemin.alwaysdata.net\/wiki\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-9234c66a87d9cab0cc7d072c9cf6526e_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#88;&#95;&#110;&#32;&#92;&#117;&#110;&#100;&#101;&#114;&#115;&#101;&#116;&#123;&#110;&#32;&#92;&#116;&#111;&#32;&#92;&#105;&#110;&#102;&#116;&#121;&#125;&#123;&#92;&#116;&#111;&#125;&#32;&#88;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"24\" width=\"86\" style=\"vertical-align: -12px;\"\/>, then <img loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/quentin-duchemin.alwaysdata.net\/wiki\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-e5e2f3f0ddc036b32dbc687be2455e5e_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#102;&#111;&#114;&#97;&#108;&#108;&#32;&#92;&#120;&#105;&#32;&#92;&#105;&#110;&#32;&#92;&#109;&#97;&#116;&#104;&#98;&#98;&#32;&#82;&#44;&#32;&#92;&#113;&#117;&#97;&#100;&#32;&#92;&#112;&#104;&#105;&#95;&#123;&#88;&#95;&#110;&#125;&#40;&#92;&#120;&#105;&#41;&#32;&#92;&#117;&#110;&#100;&#101;&#114;&#115;&#101;&#116;&#123;&#110;&#32;&#92;&#116;&#111;&#32;&#92;&#105;&#110;&#102;&#116;&#121;&#125;&#123;&#92;&#116;&#111;&#125;&#32;&#92;&#112;&#104;&#105;&#95;&#40;&#92;&#120;&#105;&#41;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"26\" width=\"214\" style=\"vertical-align: -12px;\"\/><br><\/em><\/li><li><em>If there exists some function <img loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/quentin-duchemin.alwaysdata.net\/wiki\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-53e84b78ffb7b05f99b9e8462f0c7ac9_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#112;&#104;&#105;&#58;&#92;&#109;&#97;&#116;&#104;&#98;&#98;&#32;&#82;&#32;&#92;&#116;&#111;&#32;&#92;&#109;&#97;&#116;&#104;&#98;&#98;&#32;&#82;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"16\" width=\"79\" style=\"vertical-align: -4px;\"\/> such that <\/em><p class=\"ql-center-displayed-equation\" style=\"line-height: 25px;\"><span class=\"ql-right-eqno\"> &nbsp; <\/span><span class=\"ql-left-eqno\"> &nbsp; <\/span><img loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/quentin-duchemin.alwaysdata.net\/wiki\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-b44ecd273677e758b393c7b057500c25_l3.png\" height=\"25\" width=\"215\" class=\"ql-img-displayed-equation quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#91;&#32;&#92;&#112;&#104;&#105;&#95;&#123;&#88;&#95;&#110;&#125;&#40;&#92;&#120;&#105;&#41;&#92;&#117;&#110;&#100;&#101;&#114;&#115;&#101;&#116;&#123;&#110;&#32;&#92;&#116;&#111;&#32;&#92;&#105;&#110;&#102;&#116;&#121;&#125;&#123;&#92;&#116;&#111;&#125;&#92;&#112;&#104;&#105;&#40;&#92;&#120;&#105;&#41;&#44;&#32;&#92;&#113;&#117;&#97;&#100;&#32;&#92;&#102;&#111;&#114;&#97;&#108;&#108;&#32;&#92;&#120;&#105;&#32;&#92;&#105;&#110;&#32;&#92;&#109;&#97;&#116;&#104;&#98;&#98;&#32;&#82;&#44;&#92;&#93;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\"\/><\/p><em> and if <img loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/quentin-duchemin.alwaysdata.net\/wiki\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-5b2be26c0c1341f54b29baddda771346_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#112;&#104;&#105;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"16\" width=\"11\" style=\"vertical-align: -4px;\"\/> is continuous at <img loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/quentin-duchemin.alwaysdata.net\/wiki\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a5e437be25f29374d30f66cd46adf81c_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#48;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"9\" style=\"vertical-align: 0px;\"\/>, then<br>&#8211; there exists <img loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/quentin-duchemin.alwaysdata.net\/wiki\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-761fd3ca09ad29ba6f86aa02ff540254_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#90;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"12\" style=\"vertical-align: 0px;\"\/> a real valued random variable such that <img loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/quentin-duchemin.alwaysdata.net\/wiki\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-143abf7ff7d941af327d255b416d587b_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#112;&#104;&#105;&#92;&#101;&#113;&#117;&#105;&#118;&#32;&#92;&#112;&#104;&#105;&#95;&#90;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"16\" width=\"55\" style=\"vertical-align: -4px;\"\/>.<br>&#8211; <img loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/quentin-duchemin.alwaysdata.net\/wiki\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-52e358adf5c22127488964618ac87503_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#88;&#95;&#110;&#32;&#92;&#111;&#118;&#101;&#114;&#115;&#101;&#116;&#123;&#92;&#109;&#97;&#116;&#104;&#99;&#97;&#108;&#32;&#68;&#125;&#123;&#92;&#117;&#110;&#100;&#101;&#114;&#115;&#101;&#116;&#123;&#110;&#32;&#92;&#116;&#111;&#32;&#92;&#105;&#110;&#102;&#116;&#121;&#125;&#123;&#92;&#116;&#111;&#125;&#125;&#32;&#90;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"31\" width=\"83\" style=\"vertical-align: -12px;\"\/>.<\/em><\/li><\/ol>\n\n\n\n<p>Just for the sake of beauty, let me mention the following result that can allow to identify functions that can be written as the Stieltjes Transform of some measure  <img loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/quentin-duchemin.alwaysdata.net\/wiki\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-461fe1a58a75801541487ddf10d32abd_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#109;&#117;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"11\" style=\"vertical-align: -4px;\"\/> on <img loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/quentin-duchemin.alwaysdata.net\/wiki\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-5e08bcc1c028548c46daac93780d85a0_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#40;&#92;&#109;&#97;&#116;&#104;&#98;&#98;&#32;&#82;&#44;&#32;&#92;&#109;&#97;&#116;&#104;&#99;&#97;&#108;&#32;&#66;&#40;&#92;&#109;&#97;&#116;&#104;&#98;&#98;&#32;&#82;&#41;&#41;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"72\" style=\"vertical-align: -5px;\"\/>. <\/p>\n\n\n\n<p><strong>Theorem (Recognize a Stieltjes Transform)<\/strong><br><em>If <img loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/quentin-duchemin.alwaysdata.net\/wiki\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-670aafbe6e5906717912dc6e1311dc1d_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#103;&#32;&#58;&#92;&#109;&#97;&#116;&#104;&#98;&#98;&#32;&#67;&#94;&#43;&#32;&#92;&#116;&#111;&#32;&#92;&#109;&#97;&#116;&#104;&#98;&#98;&#32;&#67;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"89\" style=\"vertical-align: -4px;\"\/> satisfies<\/em><\/p>\n\n\n\n<ol><li><em><img loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/quentin-duchemin.alwaysdata.net\/wiki\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-5b6b0f7c263ee0b89276f2cadae432d9_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#73;&#109;&#40;&#103;&#40;&#122;&#41;&#41;&#32;&#92;&#103;&#101;&#113;&#32;&#48;&#44;&#32;&#92;&#113;&#117;&#97;&#100;&#32;&#92;&#102;&#111;&#114;&#97;&#108;&#108;&#32;&#122;&#32;&#92;&#105;&#110;&#32;&#92;&#109;&#97;&#116;&#104;&#98;&#98;&#32;&#67;&#94;&#43;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"192\" style=\"vertical-align: -5px;\"\/><\/em><\/li><li><em><img loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/quentin-duchemin.alwaysdata.net\/wiki\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d208fd391fa57c168dc0f151de829fee_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#103;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"9\" style=\"vertical-align: -4px;\"\/> is analytic<\/em><\/li><li><em>There exists <img loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/quentin-duchemin.alwaysdata.net\/wiki\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ba7b6d93cf8f5970f45bc302c2101dfa_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#77;&#62;&#48;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"14\" width=\"52\" style=\"vertical-align: -2px;\"\/> such that <img loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/quentin-duchemin.alwaysdata.net\/wiki\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-245a8b21cc08cf3acba5de47d6810889_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#124;&#103;&#40;&#122;&#41;&#124;&#32;&#92;&#108;&#101;&#113;&#32;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#77;&#125;&#123;&#73;&#109;&#40;&#122;&#41;&#125;&#44;&#92;&#113;&#117;&#97;&#100;&#32;&#92;&#102;&#111;&#114;&#97;&#108;&#108;&#32;&#122;&#32;&#92;&#105;&#110;&#32;&#92;&#109;&#97;&#116;&#104;&#98;&#98;&#32;&#67;&#94;&#43;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"26\" width=\"193\" style=\"vertical-align: -10px;\"\/><\/em><\/li><\/ol>\n\n\n\n<p><em>Then there exists a unique measure <img loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/quentin-duchemin.alwaysdata.net\/wiki\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-461fe1a58a75801541487ddf10d32abd_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#109;&#117;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"11\" style=\"vertical-align: -4px;\"\/> on <img loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/quentin-duchemin.alwaysdata.net\/wiki\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-5e08bcc1c028548c46daac93780d85a0_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#40;&#92;&#109;&#97;&#116;&#104;&#98;&#98;&#32;&#82;&#44;&#32;&#92;&#109;&#97;&#116;&#104;&#99;&#97;&#108;&#32;&#66;&#40;&#92;&#109;&#97;&#116;&#104;&#98;&#98;&#32;&#82;&#41;&#41;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"72\" style=\"vertical-align: -5px;\"\/> satisfying <img loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/quentin-duchemin.alwaysdata.net\/wiki\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-0b68829f360e71bd5a03a456a6402361_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#109;&#117;&#40;&#92;&#109;&#97;&#116;&#104;&#98;&#98;&#32;&#82;&#41;&#32;&#92;&#108;&#101;&#113;&#32;&#77;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"80\" style=\"vertical-align: -5px;\"\/> such that <p class=\"ql-center-displayed-equation\" style=\"line-height: 42px;\"><span class=\"ql-right-eqno\"> &nbsp; <\/span><span class=\"ql-left-eqno\"> &nbsp; <\/span><img loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/quentin-duchemin.alwaysdata.net\/wiki\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a35527578eeed57e80c63867ccfbe697_l3.png\" height=\"42\" width=\"131\" class=\"ql-img-displayed-equation quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#91;&#103;&#40;&#122;&#41;&#32;&#61;&#32;&#92;&#105;&#110;&#116;&#95;&#123;&#92;&#109;&#97;&#116;&#104;&#98;&#98;&#32;&#82;&#125;&#32;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#92;&#109;&#117;&#40;&#100;&#92;&#108;&#97;&#109;&#98;&#100;&#97;&#41;&#125;&#123;&#92;&#108;&#97;&#109;&#98;&#100;&#97;&#45;&#122;&#125;&#46;&#92;&#93;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\"\/><\/p><\/em><\/p>\n\n\n\n<p><em>If additionally it holds<br>    4. <img loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/quentin-duchemin.alwaysdata.net\/wiki\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-e02c19ce8725e148b00d5a11c2b01445_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#102;&#111;&#114;&#97;&#108;&#108;&#32;&#122;&#32;&#92;&#105;&#110;&#32;&#92;&#109;&#97;&#116;&#104;&#98;&#98;&#32;&#67;&#94;&#43;&#44;&#32;&#92;&#113;&#117;&#97;&#100;&#32;&#73;&#109;&#40;&#122;&#103;&#40;&#122;&#41;&#41;&#32;&#92;&#103;&#101;&#113;&#32;&#48;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"203\" style=\"vertical-align: -5px;\"\/>,<br>Then <img loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/quentin-duchemin.alwaysdata.net\/wiki\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-7c3d29bc129135c7e5c64067737cb8d5_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#109;&#117;&#40;&#92;&#109;&#97;&#116;&#104;&#98;&#98;&#32;&#82;&#94;&#45;&#41;&#32;&#61;&#32;&#92;&#109;&#117;&#40;&#40;&#45;&#92;&#105;&#110;&#102;&#116;&#121;&#44;&#48;&#41;&#41;&#32;&#61;&#32;&#48;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"192\" style=\"vertical-align: -5px;\"\/>.<\/em><\/p>\n\n\n\n<p><strong>Example<\/strong>:  If <img loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/quentin-duchemin.alwaysdata.net\/wiki\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d208fd391fa57c168dc0f151de829fee_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#103;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"9\" style=\"vertical-align: -4px;\"\/> is the Stieltjes Transform of some measure <img loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/quentin-duchemin.alwaysdata.net\/wiki\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-461fe1a58a75801541487ddf10d32abd_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#109;&#117;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"11\" style=\"vertical-align: -4px;\"\/> then <img loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/quentin-duchemin.alwaysdata.net\/wiki\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-804cb744dbeaae4c22ce82bef439d279_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#104;&#61;&#32;&#45;&#32;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#49;&#125;&#123;&#122;&#43;&#103;&#40;&#122;&#41;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"26\" width=\"93\" style=\"vertical-align: -10px;\"\/> is the Stieltjes Transform of some probability measure <img loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/quentin-duchemin.alwaysdata.net\/wiki\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-461fe1a58a75801541487ddf10d32abd_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#109;&#117;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"11\" style=\"vertical-align: -4px;\"\/> on <img loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/quentin-duchemin.alwaysdata.net\/wiki\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-5e08bcc1c028548c46daac93780d85a0_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#40;&#92;&#109;&#97;&#116;&#104;&#98;&#98;&#32;&#82;&#44;&#32;&#92;&#109;&#97;&#116;&#104;&#99;&#97;&#108;&#32;&#66;&#40;&#92;&#109;&#97;&#116;&#104;&#98;&#98;&#32;&#82;&#41;&#41;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"72\" style=\"vertical-align: -5px;\"\/>.<\/p>\n\n\n\n<h3>b) Proof of the key preliminary result<\/h3>\n\n\n\n<p>We will need the following additional properties in the proof.<\/p>\n\n\n\n<p><strong>Theorem (Helly&#8217;s selection theorem)<br><\/strong><em>From every sequence of proba measures <img loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/quentin-duchemin.alwaysdata.net\/wiki\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-7cd0b76ce4064858c3d4fb3c490f084a_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#40;&#92;&#109;&#117;&#95;&#110;&#41;&#95;&#110;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"41\" style=\"vertical-align: -5px;\"\/>, one can extract a subsequence that converges vaguely to a measure <img loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/quentin-duchemin.alwaysdata.net\/wiki\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-84f850cb7d68cf5b0b1a685b849a8674_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#110;&#117;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"8\" width=\"10\" style=\"vertical-align: 0px;\"\/>. (Note that <img loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/quentin-duchemin.alwaysdata.net\/wiki\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-84f850cb7d68cf5b0b1a685b849a8674_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#110;&#117;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"8\" width=\"10\" style=\"vertical-align: 0px;\"\/> is not necessary a probability measure).<\/em><\/p>\n\n\n\n<p><strong>Remark.<\/strong> <img loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/quentin-duchemin.alwaysdata.net\/wiki\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-2647fd5ed1482029c58cff4f9223bd79_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#109;&#117;&#95;&#110;&#32;&#92;&#117;&#110;&#100;&#101;&#114;&#115;&#101;&#116;&#123;&#110;&#32;&#92;&#116;&#111;&#32;&#92;&#105;&#110;&#102;&#116;&#121;&#125;&#123;&#92;&#116;&#111;&#125;&#32;&#92;&#110;&#117;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"21\" width=\"76\" style=\"vertical-align: -12px;\"\/> vaguely implies <img loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/quentin-duchemin.alwaysdata.net\/wiki\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-bb7d03126ba4605d6e2dacbd1d883c9b_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#105;&#110;&#116;&#32;&#32;&#102;&#32;&#100;&#92;&#109;&#117;&#95;&#110;&#32;&#92;&#117;&#110;&#100;&#101;&#114;&#115;&#101;&#116;&#123;&#110;&#32;&#92;&#116;&#111;&#32;&#92;&#105;&#110;&#102;&#116;&#121;&#125;&#123;&#92;&#116;&#111;&#125;&#32;&#92;&#105;&#110;&#116;&#32;&#102;&#32;&#100;&#92;&#110;&#117;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"26\" width=\"145\" style=\"vertical-align: -12px;\"\/> for every <img loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/quentin-duchemin.alwaysdata.net\/wiki\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-0140b5feb436ab5c3de3d69d46e3baa6_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#102;&#32;&#92;&#105;&#110;&#32;&#67;&#95;&#48;&#40;&#92;&#109;&#97;&#116;&#104;&#98;&#98;&#32;&#82;&#41;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"79\" style=\"vertical-align: -5px;\"\/> where <p class=\"ql-center-displayed-equation\" style=\"line-height: 43px;\"><span class=\"ql-right-eqno\"> &nbsp; <\/span><span class=\"ql-left-eqno\"> &nbsp; <\/span><img loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/quentin-duchemin.alwaysdata.net\/wiki\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-1dce7be87d5cdfa7c2460bf819eb130c_l3.png\" height=\"43\" width=\"443\" class=\"ql-img-displayed-equation quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#91;&#67;&#95;&#48;&#40;&#92;&#109;&#97;&#116;&#104;&#98;&#98;&#32;&#82;&#41;&#32;&#58;&#61;&#32;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#92;&#123;&#102;&#58;&#92;&#109;&#97;&#116;&#104;&#98;&#98;&#32;&#82;&#32;&#92;&#116;&#111;&#32;&#92;&#109;&#97;&#116;&#104;&#98;&#98;&#32;&#67;&#32;&#92;&#59;&#32;&#58;&#32;&#92;&#59;&#32;&#102;&#32;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#32;&#32;&#32;&#105;&#115;&#32;&#99;&#111;&#110;&#116;&#105;&#110;&#117;&#111;&#117;&#115;&#32;&#32;&#97;&#110;&#100;&#32;&#32;&#32;&#125;&#32;&#92;&#108;&#105;&#109;&#95;&#123;&#92;&#112;&#109;&#32;&#92;&#105;&#110;&#102;&#116;&#121;&#125;&#32;&#102;&#32;&#61;&#32;&#48;&#32;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#92;&#125;&#46;&#92;&#93;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\"\/><\/p> <\/p>\n\n\n\n<p><em>Proof.<\/em><br>1) To prove that for any <img loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/quentin-duchemin.alwaysdata.net\/wiki\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ef23cfa62512bf1a0ec1c7bbdd413376_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#122;&#32;&#92;&#105;&#110;&#32;&#92;&#109;&#97;&#116;&#104;&#98;&#98;&#32;&#67;&#94;&#43;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"15\" width=\"54\" style=\"vertical-align: -1px;\"\/>, <img loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/quentin-duchemin.alwaysdata.net\/wiki\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-fe14bcfc2d84adfe3611e01257c8ed09_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#103;&#95;&#123;&#92;&#109;&#117;&#95;&#110;&#125;&#40;&#122;&#41;&#32;&#92;&#116;&#111;&#32;&#103;&#95;&#123;&#92;&#109;&#117;&#125;&#40;&#122;&#41;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"116\" style=\"vertical-align: -6px;\"\/>, we show that for any <img loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/quentin-duchemin.alwaysdata.net\/wiki\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ef23cfa62512bf1a0ec1c7bbdd413376_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#122;&#32;&#92;&#105;&#110;&#32;&#92;&#109;&#97;&#116;&#104;&#98;&#98;&#32;&#67;&#94;&#43;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"15\" width=\"54\" style=\"vertical-align: -1px;\"\/>, <img loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/quentin-duchemin.alwaysdata.net\/wiki\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-47a98b662cf416ad6fffaf544d086318_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#109;&#97;&#116;&#104;&#99;&#97;&#108;&#123;&#82;&#125;&#101;&#32;&#40;&#103;&#95;&#123;&#92;&#109;&#117;&#95;&#110;&#125;&#40;&#122;&#41;&#41;&#32;&#92;&#116;&#111;&#32;&#92;&#109;&#97;&#116;&#104;&#99;&#97;&#108;&#123;&#82;&#125;&#101;&#32;&#40;&#32;&#103;&#95;&#123;&#92;&#109;&#117;&#125;&#40;&#122;&#41;&#41;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"190\" style=\"vertical-align: -6px;\"\/> and <img loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/quentin-duchemin.alwaysdata.net\/wiki\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-3c91f5b6c9928eaf68baac0842dc27e9_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#109;&#97;&#116;&#104;&#99;&#97;&#108;&#123;&#73;&#125;&#109;&#32;&#40;&#103;&#95;&#123;&#92;&#109;&#117;&#95;&#110;&#125;&#40;&#122;&#41;&#41;&#32;&#92;&#116;&#111;&#32;&#92;&#109;&#97;&#116;&#104;&#99;&#97;&#108;&#123;&#73;&#125;&#109;&#32;&#40;&#103;&#95;&#123;&#92;&#109;&#117;&#125;&#40;&#122;&#41;&#41;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"197\" style=\"vertical-align: -6px;\"\/>. Let us consider some <img loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/quentin-duchemin.alwaysdata.net\/wiki\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-1101561536d2204f0acc8ba067777a8b_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#122;&#61;&#120;&#43;&#105;&#121;&#32;&#92;&#105;&#110;&#32;&#92;&#109;&#97;&#116;&#104;&#98;&#98;&#32;&#67;&#94;&#43;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"125\" style=\"vertical-align: -4px;\"\/>. Since<br><p class=\"ql-center-displayed-equation\" style=\"line-height: 91px;\"><span class=\"ql-right-eqno\"> &nbsp; <\/span><span class=\"ql-left-eqno\"> &nbsp; <\/span><img loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/quentin-duchemin.alwaysdata.net\/wiki\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-0f3a5d7bc1dfac22b4cc3cae7c7ef7cf_l3.png\" height=\"91\" width=\"249\" class=\"ql-img-displayed-equation quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#98;&#101;&#103;&#105;&#110;&#123;&#97;&#108;&#105;&#103;&#110;&#42;&#125;&#92;&#109;&#97;&#116;&#104;&#99;&#97;&#108;&#123;&#82;&#125;&#101;&#32;&#40;&#103;&#95;&#123;&#92;&#109;&#117;&#95;&#110;&#125;&#40;&#122;&#41;&#41;&#32;&#38;&#32;&#61;&#32;&#92;&#105;&#110;&#116;&#95;&#123;&#92;&#109;&#97;&#116;&#104;&#98;&#98;&#32;&#82;&#125;&#32;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#92;&#109;&#117;&#95;&#110;&#40;&#100;&#92;&#108;&#97;&#109;&#98;&#100;&#97;&#41;&#125;&#123;&#92;&#108;&#97;&#109;&#98;&#100;&#97;&#32;&#45;&#122;&#125;&#92;&#92;&#38;&#61;&#32;&#92;&#105;&#110;&#116;&#95;&#123;&#92;&#109;&#97;&#116;&#104;&#98;&#98;&#32;&#82;&#125;&#32;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#40;&#92;&#108;&#97;&#109;&#98;&#100;&#97;&#45;&#120;&#41;&#92;&#109;&#117;&#95;&#110;&#40;&#100;&#92;&#108;&#97;&#109;&#98;&#100;&#97;&#41;&#125;&#123;&#40;&#92;&#108;&#97;&#109;&#98;&#100;&#97;&#32;&#45;&#120;&#41;&#94;&#50;&#43;&#121;&#94;&#50;&#125;&#44;&#92;&#101;&#110;&#100;&#123;&#97;&#108;&#105;&#103;&#110;&#42;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\"\/><\/p><br>and since  <img loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/quentin-duchemin.alwaysdata.net\/wiki\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-fa73bfe7c0b81b9fd1dc16dd4384c326_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#108;&#97;&#109;&#98;&#100;&#97;&#32;&#92;&#109;&#97;&#112;&#115;&#116;&#111;&#32;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#40;&#92;&#108;&#97;&#109;&#98;&#100;&#97;&#45;&#120;&#41;&#125;&#123;&#40;&#92;&#108;&#97;&#109;&#98;&#100;&#97;&#32;&#45;&#120;&#41;&#94;&#50;&#43;&#121;&#94;&#50;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"30\" width=\"109\" style=\"vertical-align: -11px;\"\/> is continuous and bounded on <img loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/quentin-duchemin.alwaysdata.net\/wiki\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-4f3946bf347fcf445aa7f85ebc46f4c1_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#109;&#97;&#116;&#104;&#98;&#98;&#32;&#82;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"13\" style=\"vertical-align: 0px;\"\/> (because <img loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/quentin-duchemin.alwaysdata.net\/wiki\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-e267500d14c814e8a6862e21f65f02da_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#121;&#62;&#48;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"16\" width=\"42\" style=\"vertical-align: -4px;\"\/>), the weak convergence of the sequence <img loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/quentin-duchemin.alwaysdata.net\/wiki\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-7cd0b76ce4064858c3d4fb3c490f084a_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#40;&#92;&#109;&#117;&#95;&#110;&#41;&#95;&#110;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"41\" style=\"vertical-align: -5px;\"\/> to <img loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/quentin-duchemin.alwaysdata.net\/wiki\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-461fe1a58a75801541487ddf10d32abd_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#109;&#117;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"11\" style=\"vertical-align: -4px;\"\/> ensures that <br><p class=\"ql-center-displayed-equation\" style=\"line-height: 43px;\"><span class=\"ql-right-eqno\"> &nbsp; <\/span><span class=\"ql-left-eqno\"> &nbsp; <\/span><img loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/quentin-duchemin.alwaysdata.net\/wiki\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-3463a868ce5a9594971eba48cac2faa2_l3.png\" height=\"43\" width=\"365\" class=\"ql-img-displayed-equation quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#91;&#92;&#109;&#97;&#116;&#104;&#99;&#97;&#108;&#123;&#82;&#125;&#101;&#32;&#40;&#103;&#95;&#123;&#92;&#109;&#117;&#95;&#110;&#125;&#40;&#122;&#41;&#41;&#32;&#92;&#117;&#110;&#100;&#101;&#114;&#115;&#101;&#116;&#123;&#110;&#32;&#92;&#116;&#111;&#32;&#92;&#105;&#110;&#102;&#116;&#121;&#125;&#123;&#92;&#116;&#111;&#125;&#32;&#92;&#105;&#110;&#116;&#95;&#123;&#92;&#109;&#97;&#116;&#104;&#98;&#98;&#32;&#82;&#125;&#32;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#40;&#92;&#108;&#97;&#109;&#98;&#100;&#97;&#45;&#120;&#41;&#92;&#109;&#117;&#40;&#100;&#92;&#108;&#97;&#109;&#98;&#100;&#97;&#41;&#125;&#123;&#40;&#92;&#108;&#97;&#109;&#98;&#100;&#97;&#32;&#45;&#120;&#41;&#94;&#50;&#43;&#121;&#94;&#50;&#125;&#32;&#61;&#92;&#109;&#97;&#116;&#104;&#99;&#97;&#108;&#123;&#82;&#125;&#101;&#32;&#40;&#103;&#95;&#123;&#92;&#109;&#117;&#125;&#40;&#122;&#41;&#41;&#46;&#32;&#92;&#93;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\"\/><\/p><br>Using an analogous approach, one can show that <p class=\"ql-center-displayed-equation\" style=\"line-height: 25px;\"><span class=\"ql-right-eqno\"> &nbsp; <\/span><span class=\"ql-left-eqno\"> &nbsp; <\/span><img loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/quentin-duchemin.alwaysdata.net\/wiki\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-51728013b18a517415d1520de47f54a4_l3.png\" height=\"25\" width=\"220\" class=\"ql-img-displayed-equation quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#91;&#92;&#109;&#97;&#116;&#104;&#99;&#97;&#108;&#123;&#73;&#125;&#109;&#32;&#40;&#103;&#95;&#123;&#92;&#109;&#117;&#95;&#110;&#125;&#40;&#122;&#41;&#41;&#32;&#92;&#117;&#110;&#100;&#101;&#114;&#115;&#101;&#116;&#123;&#110;&#32;&#92;&#116;&#111;&#32;&#92;&#105;&#110;&#102;&#116;&#121;&#125;&#123;&#92;&#116;&#111;&#125;&#32;&#92;&#109;&#97;&#116;&#104;&#99;&#97;&#108;&#123;&#73;&#125;&#109;&#32;&#40;&#103;&#95;&#123;&#92;&#109;&#117;&#125;&#40;&#122;&#41;&#41;&#44;&#92;&#93;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\"\/><\/p> which concludes the proof of the first item of the Theorem.<\/p>\n\n\n\n<p>2a) We consider some set <img loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/quentin-duchemin.alwaysdata.net\/wiki\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-5e4a0df4e7a77d62a1d0270f216f7c26_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#68;&#32;&#92;&#115;&#117;&#98;&#115;&#101;&#116;&#32;&#92;&#109;&#97;&#116;&#104;&#98;&#98;&#32;&#67;&#94;&#43;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"15\" width=\"62\" style=\"vertical-align: -1px;\"\/> with an accumulation point such that <img loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/quentin-duchemin.alwaysdata.net\/wiki\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-26b20be0362c5bd135d46dc5f0491268_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#102;&#111;&#114;&#97;&#108;&#108;&#32;&#122;&#32;&#92;&#105;&#110;&#32;&#68;&#44;&#32;&#92;&#113;&#117;&#97;&#100;&#32;&#103;&#95;&#123;&#92;&#109;&#117;&#95;&#110;&#125;&#40;&#122;&#41;&#32;&#92;&#117;&#110;&#100;&#101;&#114;&#115;&#101;&#116;&#123;&#110;&#32;&#92;&#116;&#111;&#32;&#92;&#105;&#110;&#102;&#116;&#121;&#125;&#123;&#92;&#116;&#111;&#125;&#32;&#103;&#40;&#122;&#41;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"26\" width=\"207\" style=\"vertical-align: -12px;\"\/>.<br>By the Helly&#8217;s selection Theorem, there exists a subsequence <img loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/quentin-duchemin.alwaysdata.net\/wiki\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-574ba9a14512810fc810cbf7898343c0_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#40;&#92;&#109;&#117;&#39;&#95;&#110;&#41;&#95;&#110;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"41\" style=\"vertical-align: -5px;\"\/> of the sequence of probabilities <img loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/quentin-duchemin.alwaysdata.net\/wiki\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-7cd0b76ce4064858c3d4fb3c490f084a_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#40;&#92;&#109;&#117;&#95;&#110;&#41;&#95;&#110;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"41\" style=\"vertical-align: -5px;\"\/> that converges vaguely to some measure <img loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/quentin-duchemin.alwaysdata.net\/wiki\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-84f850cb7d68cf5b0b1a685b849a8674_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#110;&#117;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"8\" width=\"10\" style=\"vertical-align: 0px;\"\/> on <img loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/quentin-duchemin.alwaysdata.net\/wiki\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-5e08bcc1c028548c46daac93780d85a0_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#40;&#92;&#109;&#97;&#116;&#104;&#98;&#98;&#32;&#82;&#44;&#32;&#92;&#109;&#97;&#116;&#104;&#99;&#97;&#108;&#32;&#66;&#40;&#92;&#109;&#97;&#116;&#104;&#98;&#98;&#32;&#82;&#41;&#41;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"72\" style=\"vertical-align: -5px;\"\/>. Let us consider some <img loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/quentin-duchemin.alwaysdata.net\/wiki\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-7134774aafbe8ca152993d0847899136_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#122;&#32;&#92;&#105;&#110;&#32;&#68;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"13\" width=\"46\" style=\"vertical-align: -1px;\"\/>. Using the previous remark and since <img loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/quentin-duchemin.alwaysdata.net\/wiki\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-342094382216a91e838bea6a678f1aba_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#112;&#104;&#105;&#58;&#92;&#108;&#97;&#109;&#98;&#100;&#97;&#32;&#92;&#109;&#97;&#112;&#115;&#116;&#111;&#32;&#32;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#49;&#125;&#123;&#92;&#108;&#97;&#109;&#98;&#100;&#97;&#45;&#122;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"22\" width=\"91\" style=\"vertical-align: -6px;\"\/> belongs to <img loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/quentin-duchemin.alwaysdata.net\/wiki\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-abbda89119ab3729babfd82b95bc8272_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#67;&#95;&#48;&#40;&#92;&#109;&#97;&#116;&#104;&#98;&#98;&#32;&#82;&#41;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"46\" style=\"vertical-align: -5px;\"\/>, we get that <p class=\"ql-center-displayed-equation\" style=\"line-height: 40px;\"><span class=\"ql-right-eqno\"> &nbsp; <\/span><span class=\"ql-left-eqno\"> &nbsp; <\/span><img loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/quentin-duchemin.alwaysdata.net\/wiki\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-aa09ef732729b1a9a0e8484fc9ae253a_l3.png\" height=\"40\" width=\"257\" class=\"ql-img-displayed-equation quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#91;&#92;&#105;&#110;&#116;&#32;&#92;&#112;&#104;&#105;&#40;&#92;&#108;&#97;&#109;&#98;&#100;&#97;&#41;&#32;&#100;&#92;&#109;&#117;&#39;&#95;&#110;&#40;&#92;&#108;&#97;&#109;&#98;&#100;&#97;&#41;&#32;&#92;&#117;&#110;&#100;&#101;&#114;&#115;&#101;&#116;&#123;&#110;&#32;&#92;&#116;&#111;&#32;&#92;&#105;&#110;&#102;&#116;&#121;&#125;&#123;&#92;&#116;&#111;&#125;&#32;&#92;&#105;&#110;&#116;&#32;&#92;&#112;&#104;&#105;&#40;&#92;&#108;&#97;&#109;&#98;&#100;&#97;&#41;&#32;&#100;&#92;&#110;&#117;&#40;&#92;&#108;&#97;&#109;&#98;&#100;&#97;&#41;&#46;&#92;&#93;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\"\/><\/p><br>Since <img loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/quentin-duchemin.alwaysdata.net\/wiki\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-693b7f6c61193b2be4c156cabd7a6e4f_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#32;&#92;&#105;&#110;&#116;&#32;&#92;&#112;&#104;&#105;&#40;&#92;&#108;&#97;&#109;&#98;&#100;&#97;&#41;&#32;&#100;&#92;&#109;&#117;&#39;&#95;&#110;&#40;&#92;&#108;&#97;&#109;&#98;&#100;&#97;&#41;&#32;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#95;&#110;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"22\" width=\"125\" style=\"vertical-align: -7px;\"\/> is a subsequence of the sequence <img loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/quentin-duchemin.alwaysdata.net\/wiki\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-6ea1dd995b19554a8079ca3db5cdbfed_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#40;&#103;&#95;&#123;&#92;&#109;&#117;&#95;&#110;&#125;&#40;&#122;&#41;&#41;&#95;&#110;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"70\" style=\"vertical-align: -6px;\"\/> that converges to <img loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/quentin-duchemin.alwaysdata.net\/wiki\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-81d7b2cd34b912407b0029e773863aa8_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#103;&#40;&#122;&#41;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"31\" style=\"vertical-align: -5px;\"\/>, we deduce that <a name=\"id1073192949\"><\/a><p class=\"ql-center-displayed-equation\" style=\"line-height: 19px;\"><span class=\"ql-right-eqno\"> (1) <\/span><span class=\"ql-left-eqno\"> &nbsp; <\/span><img loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/quentin-duchemin.alwaysdata.net\/wiki\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d27bcd10727a52d3221fd5556e372d59_l3.png\" height=\"19\" width=\"181\" class=\"ql-img-displayed-equation quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#98;&#101;&#103;&#105;&#110;&#123;&#101;&#113;&#117;&#97;&#116;&#105;&#111;&#110;&#42;&#125;&#32;&#32;&#92;&#102;&#111;&#114;&#97;&#108;&#108;&#32;&#122;&#32;&#92;&#105;&#110;&#32;&#68;&#44;&#32;&#92;&#113;&#117;&#97;&#100;&#32;&#103;&#40;&#122;&#41;&#32;&#61;&#32;&#103;&#95;&#123;&#92;&#110;&#117;&#125;&#40;&#122;&#41;&#46;&#92;&#101;&#110;&#100;&#123;&#101;&#113;&#117;&#97;&#116;&#105;&#111;&#110;&#42;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\"\/><\/p><br>We know from the properties of the Stieltjes Transform that <img loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/quentin-duchemin.alwaysdata.net\/wiki\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d208fd391fa57c168dc0f151de829fee_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#103;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"9\" style=\"vertical-align: -4px;\"\/> and <img loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/quentin-duchemin.alwaysdata.net\/wiki\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-615e7c5de0ea19548bb66fa2a35eb672_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#103;&#95;&#123;&#92;&#110;&#117;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"16\" style=\"vertical-align: -4px;\"\/> are analytic functions on <img loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/quentin-duchemin.alwaysdata.net\/wiki\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d948502e526a08d69fe4eed0210860ff_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#109;&#97;&#116;&#104;&#98;&#98;&#32;&#67;&#94;&#43;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"14\" width=\"23\" style=\"vertical-align: 0px;\"\/>. Hence, (<a href=\"#id1073192949\">1<\/a>) and the analytic continuation give <p class=\"ql-center-displayed-equation\" style=\"line-height: 21px;\"><span class=\"ql-right-eqno\"> &nbsp; <\/span><span class=\"ql-left-eqno\"> &nbsp; <\/span><img loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/quentin-duchemin.alwaysdata.net\/wiki\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-88d1d5d3107dddddea4dde2f5c6a3c70_l3.png\" height=\"21\" width=\"189\" class=\"ql-img-displayed-equation quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#91;&#92;&#102;&#111;&#114;&#97;&#108;&#108;&#32;&#122;&#32;&#92;&#105;&#110;&#32;&#92;&#109;&#97;&#116;&#104;&#98;&#98;&#32;&#67;&#94;&#43;&#44;&#32;&#92;&#113;&#117;&#97;&#100;&#32;&#103;&#40;&#122;&#41;&#32;&#61;&#32;&#103;&#95;&#123;&#92;&#110;&#117;&#125;&#40;&#122;&#41;&#46;&#92;&#93;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\"\/><\/p><br>We also get that <img loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/quentin-duchemin.alwaysdata.net\/wiki\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-7cd0b76ce4064858c3d4fb3c490f084a_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#40;&#92;&#109;&#117;&#95;&#110;&#41;&#95;&#110;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"41\" style=\"vertical-align: -5px;\"\/> converges vaguely to <img loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/quentin-duchemin.alwaysdata.net\/wiki\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-84f850cb7d68cf5b0b1a685b849a8674_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#110;&#117;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"8\" width=\"10\" style=\"vertical-align: 0px;\"\/>. Considering another subsequence <img loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/quentin-duchemin.alwaysdata.net\/wiki\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-7c3b113cee21128e16600cc5fd9b54db_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#40;&#92;&#109;&#117;&#39;&#39;&#95;&#110;&#41;&#95;&#110;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"41\" style=\"vertical-align: -5px;\"\/> that converges vaguely to some measure <img loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/quentin-duchemin.alwaysdata.net\/wiki\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-2038fb1ad38cfaf0ab0e8d10e6c8059c_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#110;&#117;&#39;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"14\" width=\"14\" style=\"vertical-align: 0px;\"\/>, the previous arguments prove that <p class=\"ql-center-displayed-equation\" style=\"line-height: 42px;\"><span class=\"ql-right-eqno\"> &nbsp; <\/span><span class=\"ql-left-eqno\"> &nbsp; <\/span><img loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/quentin-duchemin.alwaysdata.net\/wiki\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-99a8d52b616c8ea994f70df52fa160d2_l3.png\" height=\"42\" width=\"309\" class=\"ql-img-displayed-equation quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#91;&#92;&#102;&#111;&#114;&#97;&#108;&#108;&#32;&#122;&#32;&#92;&#105;&#110;&#32;&#68;&#44;&#32;&#92;&#113;&#117;&#97;&#100;&#32;&#92;&#105;&#110;&#116;&#32;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#100;&#92;&#110;&#117;&#39;&#40;&#92;&#108;&#97;&#109;&#98;&#100;&#97;&#41;&#125;&#123;&#92;&#108;&#97;&#109;&#98;&#100;&#97;&#45;&#122;&#125;&#32;&#61;&#32;&#103;&#40;&#122;&#41;&#32;&#61;&#32;&#92;&#105;&#110;&#116;&#32;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#100;&#92;&#110;&#117;&#39;&#40;&#92;&#108;&#97;&#109;&#98;&#100;&#97;&#41;&#125;&#123;&#92;&#108;&#97;&#109;&#98;&#100;&#97;&#45;&#122;&#125;&#46;&#92;&#93;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\"\/><\/p><br>Using again the analytic continuation, we obtain that  <p class=\"ql-center-displayed-equation\" style=\"line-height: 42px;\"><span class=\"ql-right-eqno\"> &nbsp; <\/span><span class=\"ql-left-eqno\"> &nbsp; <\/span><img loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/quentin-duchemin.alwaysdata.net\/wiki\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-0fe75af0d4137a349a3da88a2273ad8e_l3.png\" height=\"42\" width=\"242\" class=\"ql-img-displayed-equation quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#91;&#92;&#102;&#111;&#114;&#97;&#108;&#108;&#32;&#122;&#32;&#92;&#105;&#110;&#32;&#92;&#109;&#97;&#116;&#104;&#98;&#98;&#32;&#67;&#94;&#43;&#44;&#32;&#92;&#113;&#117;&#97;&#100;&#32;&#92;&#105;&#110;&#116;&#32;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#100;&#92;&#110;&#117;&#39;&#40;&#92;&#108;&#97;&#109;&#98;&#100;&#97;&#41;&#125;&#123;&#92;&#108;&#97;&#109;&#98;&#100;&#97;&#45;&#122;&#125;&#32;&#92;&#105;&#110;&#116;&#32;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#100;&#92;&#110;&#117;&#39;&#40;&#92;&#108;&#97;&#109;&#98;&#100;&#97;&#41;&#125;&#123;&#92;&#108;&#97;&#109;&#98;&#100;&#97;&#45;&#122;&#125;&#44;&#92;&#93;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\"\/><\/p><br>leading to <img loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/quentin-duchemin.alwaysdata.net\/wiki\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-30dd44ce8f7e530e6bc11568042f5478_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#110;&#117;&#32;&#61;&#32;&#92;&#110;&#117;&#39;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"14\" width=\"47\" style=\"vertical-align: 0px;\"\/>. This gives that <img loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/quentin-duchemin.alwaysdata.net\/wiki\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-7cd0b76ce4064858c3d4fb3c490f084a_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#40;&#92;&#109;&#117;&#95;&#110;&#41;&#95;&#110;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"41\" style=\"vertical-align: -5px;\"\/> has a unique accumulation point. A standard argument based on the Helly&#8217;s selection Theorem ensures that <p class=\"ql-center-displayed-equation\" style=\"line-height: 30px;\"><span class=\"ql-right-eqno\"> &nbsp; <\/span><span class=\"ql-left-eqno\"> &nbsp; <\/span><img loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/quentin-duchemin.alwaysdata.net\/wiki\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d5c1b790e1e6d1e527a1fafe471f3e40_l3.png\" height=\"30\" width=\"79\" class=\"ql-img-displayed-equation quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#91;&#92;&#109;&#117;&#95;&#110;&#32;&#92;&#111;&#118;&#101;&#114;&#115;&#101;&#116;&#123;&#92;&#109;&#97;&#116;&#104;&#99;&#97;&#108;&#32;&#68;&#125;&#123;&#92;&#117;&#110;&#100;&#101;&#114;&#115;&#101;&#116;&#123;&#110;&#32;&#92;&#116;&#111;&#32;&#92;&#105;&#110;&#102;&#116;&#121;&#125;&#123;&#92;&#116;&#111;&#125;&#125;&#32;&#92;&#110;&#117;&#46;&#92;&#93;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\"\/><\/p> <\/p>\n\n\n\n<p>2b) This directly follows from the equivalece between points <img loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/quentin-duchemin.alwaysdata.net\/wiki\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-7ecd72020f088a031ac73f6738a867a8_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#40;&#105;&#41;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"18\" style=\"vertical-align: -5px;\"\/> and <img loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/quentin-duchemin.alwaysdata.net\/wiki\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-8577cd2935810abbc0b05bdbef9077b9_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#40;&#105;&#105;&#41;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"24\" style=\"vertical-align: -5px;\"\/> of the following Lemma.<br><br><strong>Lemma<\/strong><br>Let <img loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/quentin-duchemin.alwaysdata.net\/wiki\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-7cd0b76ce4064858c3d4fb3c490f084a_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#40;&#92;&#109;&#117;&#95;&#110;&#41;&#95;&#110;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"41\" style=\"vertical-align: -5px;\"\/> be probability measures and <img loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/quentin-duchemin.alwaysdata.net\/wiki\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-84f850cb7d68cf5b0b1a685b849a8674_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#110;&#117;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"8\" width=\"10\" style=\"vertical-align: 0px;\"\/> be a measure on <img loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/quentin-duchemin.alwaysdata.net\/wiki\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-5e08bcc1c028548c46daac93780d85a0_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#40;&#92;&#109;&#97;&#116;&#104;&#98;&#98;&#32;&#82;&#44;&#32;&#92;&#109;&#97;&#116;&#104;&#99;&#97;&#108;&#32;&#66;&#40;&#92;&#109;&#97;&#116;&#104;&#98;&#98;&#32;&#82;&#41;&#41;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"72\" style=\"vertical-align: -5px;\"\/>. The following statements are equivalent.<br><img loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/quentin-duchemin.alwaysdata.net\/wiki\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-7ecd72020f088a031ac73f6738a867a8_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#40;&#105;&#41;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"18\" style=\"vertical-align: -5px;\"\/> <img loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/quentin-duchemin.alwaysdata.net\/wiki\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-50feedd5227486b10a00e8cc272a6525_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#109;&#117;&#95;&#110;&#32;&#92;&#111;&#118;&#101;&#114;&#115;&#101;&#116;&#123;&#92;&#109;&#97;&#116;&#104;&#99;&#97;&#108;&#32;&#68;&#125;&#123;&#92;&#117;&#110;&#100;&#101;&#114;&#115;&#101;&#116;&#123;&#110;&#32;&#92;&#116;&#111;&#32;&#92;&#105;&#110;&#102;&#116;&#121;&#125;&#123;&#92;&#116;&#111;&#125;&#125;&#32;&#92;&#110;&#117;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"31\" width=\"76\" style=\"vertical-align: -12px;\"\/>.<br><img loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/quentin-duchemin.alwaysdata.net\/wiki\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-8577cd2935810abbc0b05bdbef9077b9_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#40;&#105;&#105;&#41;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"24\" style=\"vertical-align: -5px;\"\/> <img loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/quentin-duchemin.alwaysdata.net\/wiki\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-2660fd9b3fdc79599ea50d0947e1e468_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#109;&#117;&#95;&#110;&#32;&#92;&#111;&#118;&#101;&#114;&#115;&#101;&#116;&#123;&#118;&#125;&#123;&#92;&#117;&#110;&#100;&#101;&#114;&#115;&#101;&#116;&#123;&#110;&#32;&#92;&#116;&#111;&#32;&#92;&#105;&#110;&#102;&#116;&#121;&#125;&#123;&#92;&#116;&#111;&#125;&#125;&#32;&#92;&#110;&#117;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"28\" width=\"76\" style=\"vertical-align: -12px;\"\/> and <img loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/quentin-duchemin.alwaysdata.net\/wiki\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-cd786fb1c27bca39b59f57ece196cf93_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#110;&#117;&#40;&#92;&#109;&#97;&#116;&#104;&#98;&#98;&#32;&#82;&#41;&#61;&#49;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"68\" style=\"vertical-align: -5px;\"\/>. <br><img loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/quentin-duchemin.alwaysdata.net\/wiki\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-2de27ba40ff85a01c2496cc1632c982a_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#40;&#105;&#105;&#105;&#41;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"30\" style=\"vertical-align: -5px;\"\/> <img loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/quentin-duchemin.alwaysdata.net\/wiki\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-2660fd9b3fdc79599ea50d0947e1e468_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#109;&#117;&#95;&#110;&#32;&#92;&#111;&#118;&#101;&#114;&#115;&#101;&#116;&#123;&#118;&#125;&#123;&#92;&#117;&#110;&#100;&#101;&#114;&#115;&#101;&#116;&#123;&#110;&#32;&#92;&#116;&#111;&#32;&#92;&#105;&#110;&#102;&#116;&#121;&#125;&#123;&#92;&#116;&#111;&#125;&#125;&#32;&#92;&#110;&#117;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"28\" width=\"76\" style=\"vertical-align: -12px;\"\/> and <img loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/quentin-duchemin.alwaysdata.net\/wiki\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-7cd0b76ce4064858c3d4fb3c490f084a_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#40;&#92;&#109;&#117;&#95;&#110;&#41;&#95;&#110;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"41\" style=\"vertical-align: -5px;\"\/> is tight, namely for any <img loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/quentin-duchemin.alwaysdata.net\/wiki\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-2589e686907101ff138f1e89babdd7b2_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#101;&#112;&#115;&#105;&#108;&#111;&#110;&#62;&#48;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"14\" width=\"40\" style=\"vertical-align: -2px;\"\/>, there exists some compact set <img loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/quentin-duchemin.alwaysdata.net\/wiki\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-650acfb7070408610cf9da0f4ec528d5_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#75;&#32;&#92;&#115;&#117;&#98;&#115;&#101;&#116;&#32;&#92;&#109;&#97;&#116;&#104;&#98;&#98;&#32;&#82;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"13\" width=\"53\" style=\"vertical-align: -1px;\"\/> such that <p class=\"ql-center-displayed-equation\" style=\"line-height: 19px;\"><span class=\"ql-right-eqno\"> &nbsp; <\/span><span class=\"ql-left-eqno\"> &nbsp; <\/span><img loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/quentin-duchemin.alwaysdata.net\/wiki\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-fa1ef1c86714c475d93b6dafe71a0047_l3.png\" height=\"19\" width=\"196\" class=\"ql-img-displayed-equation quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#91;&#92;&#102;&#111;&#114;&#97;&#108;&#108;&#32;&#110;&#32;&#92;&#105;&#110;&#32;&#92;&#109;&#97;&#116;&#104;&#98;&#98;&#32;&#78;&#44;&#32;&#92;&#113;&#117;&#97;&#100;&#32;&#92;&#109;&#117;&#95;&#110;&#40;&#75;&#41;&#32;&#92;&#103;&#101;&#113;&#32;&#49;&#45;&#92;&#101;&#112;&#115;&#105;&#108;&#111;&#110;&#46;&#92;&#93;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\"\/><\/p><br><\/p>\n\n\n\n<h3>2. Marcenko-Pastur Theorem<\/h3>\n\n\n\n<p><strong><span class=\"has-inline-color has-vivid-red-color\">Theorem (Marcenko-Pastur)<br><\/span><\/strong><em>Let us consider a <img loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/quentin-duchemin.alwaysdata.net\/wiki\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-22337fc872e0a3b5e5b84d2e7fc21d09_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#78;&#92;&#116;&#105;&#109;&#101;&#115;&#32;&#110;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"49\" style=\"vertical-align: 0px;\"\/> matrix <img loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/quentin-duchemin.alwaysdata.net\/wiki\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d59b70a4a7b128bebc466ddd302b28f1_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#88;&#95;&#78;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"15\" width=\"27\" style=\"vertical-align: -3px;\"\/> with i.i.d. entries such that <p class=\"ql-center-displayed-equation\" style=\"line-height: 22px;\"><span class=\"ql-right-eqno\"> &nbsp; <\/span><span class=\"ql-left-eqno\"> &nbsp; <\/span><img loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/quentin-duchemin.alwaysdata.net\/wiki\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-00c4366eb8609e89b269e0f1bc8d9668_l3.png\" height=\"22\" width=\"345\" class=\"ql-img-displayed-equation quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#91;&#92;&#109;&#97;&#116;&#104;&#98;&#98;&#32;&#69;&#32;&#88;&#95;&#123;&#105;&#44;&#106;&#125;&#61;&#48;&#32;&#92;&#113;&#117;&#97;&#100;&#32;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#97;&#110;&#100;&#125;&#32;&#92;&#113;&#117;&#97;&#100;&#32;&#92;&#109;&#97;&#116;&#104;&#98;&#98;&#32;&#69;&#32;&#124;&#88;&#95;&#123;&#105;&#44;&#106;&#125;&#124;&#94;&#50;&#32;&#61;&#32;&#92;&#115;&#105;&#103;&#109;&#97;&#94;&#50;&#44;&#32;&#92;&#113;&#117;&#97;&#100;&#32;&#92;&#102;&#111;&#114;&#97;&#108;&#108;&#32;&#105;&#44;&#106;&#32;&#92;&#105;&#110;&#32;&#91;&#110;&#93;&#44;&#92;&#93;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\"\/><\/p><br>with <img loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/quentin-duchemin.alwaysdata.net\/wiki\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-2bc76238e38d30d936b514ed392b5028_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#78;&#61;&#78;&#40;&#110;&#41;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"80\" style=\"vertical-align: -5px;\"\/> and <img loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/quentin-duchemin.alwaysdata.net\/wiki\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-b170995d512c659d8668b4e42e1fef6b_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#110;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"8\" width=\"11\" style=\"vertical-align: 0px;\"\/> of the same order and <img loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/quentin-duchemin.alwaysdata.net\/wiki\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-9b661e5ac39da36596e22e03bead28c3_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#76;&#95;&#78;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"15\" width=\"24\" style=\"vertical-align: -3px;\"\/> the spectral measure of <img loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/quentin-duchemin.alwaysdata.net\/wiki\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-2173d6fc42ea84bd737e3c3f6cded482_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#49;&#125;&#123;&#110;&#125;&#32;&#88;&#95;&#78;&#32;&#88;&#95;&#78;&#94;&#42;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"22\" width=\"65\" style=\"vertical-align: -6px;\"\/>:<br><p class=\"ql-center-displayed-equation\" style=\"line-height: 52px;\"><span class=\"ql-right-eqno\"> &nbsp; <\/span><span class=\"ql-left-eqno\"> &nbsp; <\/span><img loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/quentin-duchemin.alwaysdata.net\/wiki\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-46ff948ffd55b8efbf4fbea192d11b8f_l3.png\" height=\"52\" width=\"519\" class=\"ql-img-displayed-equation quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#91;&#99;&#95;&#110;&#32;&#61;&#32;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#78;&#125;&#123;&#110;&#125;&#32;&#92;&#117;&#110;&#100;&#101;&#114;&#115;&#101;&#116;&#123;&#110;&#32;&#92;&#116;&#111;&#32;&#92;&#105;&#110;&#102;&#116;&#121;&#125;&#123;&#92;&#116;&#111;&#125;&#32;&#99;&#32;&#92;&#105;&#110;&#32;&#40;&#48;&#44;&#92;&#105;&#110;&#102;&#116;&#121;&#41;&#44;&#32;&#92;&#113;&#117;&#97;&#100;&#32;&#76;&#95;&#78;&#32;&#61;&#32;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#49;&#125;&#123;&#78;&#125;&#32;&#92;&#115;&#117;&#109;&#95;&#123;&#105;&#61;&#49;&#125;&#94;&#78;&#32;&#92;&#100;&#101;&#108;&#116;&#97;&#95;&#123;&#92;&#108;&#97;&#109;&#98;&#100;&#97;&#95;&#105;&#125;&#44;&#32;&#92;&#113;&#117;&#97;&#100;&#32;&#92;&#108;&#97;&#109;&#98;&#100;&#97;&#95;&#105;&#61;&#92;&#108;&#97;&#109;&#98;&#100;&#97;&#95;&#105;&#32;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#49;&#125;&#123;&#110;&#125;&#32;&#88;&#95;&#78;&#32;&#88;&#95;&#78;&#94;&#42;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#46;&#92;&#93;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\"\/><\/p><br>Then, almost surely (i.e. for almost every realization), <br><p class=\"ql-center-displayed-equation\" style=\"line-height: 34px;\"><span class=\"ql-right-eqno\"> &nbsp; <\/span><span class=\"ql-left-eqno\"> &nbsp; <\/span><img loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/quentin-duchemin.alwaysdata.net\/wiki\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-0524218003957ab2e97a16105278adb7_l3.png\" height=\"34\" width=\"123\" class=\"ql-img-displayed-equation quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#91;&#76;&#95;&#110;&#32;&#92;&#111;&#118;&#101;&#114;&#115;&#101;&#116;&#123;&#92;&#109;&#97;&#116;&#104;&#99;&#97;&#108;&#32;&#68;&#125;&#123;&#92;&#117;&#110;&#100;&#101;&#114;&#115;&#101;&#116;&#123;&#78;&#44;&#110;&#32;&#92;&#116;&#111;&#32;&#92;&#105;&#110;&#102;&#116;&#121;&#125;&#123;&#92;&#116;&#111;&#125;&#125;&#32;&#92;&#109;&#97;&#116;&#104;&#98;&#98;&#32;&#80;&#95;&#123;&#77;&#80;&#125;&#44;&#92;&#93;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\"\/><\/p><br>where <img loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/quentin-duchemin.alwaysdata.net\/wiki\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-e4fc54217e06cfea112b0ff29ec37bee_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#109;&#97;&#116;&#104;&#98;&#98;&#32;&#80;&#95;&#123;&#77;&#80;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"15\" width=\"36\" style=\"vertical-align: -3px;\"\/> is the Marcenko-Pastur distribution<br><p class=\"ql-center-displayed-equation\" style=\"line-height: 59px;\"><span class=\"ql-right-eqno\"> &nbsp; <\/span><span class=\"ql-left-eqno\"> &nbsp; <\/span><img loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/quentin-duchemin.alwaysdata.net\/wiki\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a05d745d915829d2d48f3f48021f1a1b_l3.png\" height=\"59\" width=\"416\" class=\"ql-img-displayed-equation quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#91;&#92;&#109;&#97;&#116;&#104;&#98;&#98;&#32;&#80;&#95;&#123;&#77;&#80;&#125;&#40;&#100;&#120;&#41;&#61;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#49;&#45;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#49;&#125;&#123;&#99;&#125;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#95;&#43;&#32;&#92;&#100;&#101;&#108;&#116;&#97;&#95;&#48;&#32;&#43;&#32;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#92;&#115;&#113;&#114;&#116;&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#91;&#32;&#32;&#32;&#40;&#92;&#108;&#97;&#109;&#98;&#100;&#97;&#94;&#43;&#45;&#120;&#41;&#40;&#120;&#45;&#92;&#108;&#97;&#109;&#98;&#100;&#97;&#94;&#45;&#41;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#93;&#95;&#43;&#125;&#125;&#123;&#50;&#92;&#112;&#105;&#92;&#115;&#105;&#103;&#109;&#97;&#94;&#50;&#120;&#99;&#125;&#100;&#120;&#44;&#92;&#93;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\"\/><\/p><br>with<br><p class=\"ql-center-displayed-equation\" style=\"line-height: 44px;\"><span class=\"ql-right-eqno\"> &nbsp; <\/span><span class=\"ql-left-eqno\"> &nbsp; <\/span><img loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/quentin-duchemin.alwaysdata.net\/wiki\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-0b137d89692cf15a075c6fd41c549364_l3.png\" height=\"44\" width=\"186\" class=\"ql-img-displayed-equation quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#91;&#32;&#32;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#92;&#123;&#92;&#98;&#101;&#103;&#105;&#110;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#123;&#108;&#108;&#125;&#92;&#108;&#97;&#109;&#98;&#100;&#97;&#94;&#45;&#32;&#38;&#61;&#92;&#115;&#105;&#103;&#109;&#97;&#94;&#50;&#32;&#40;&#49;&#45;&#92;&#115;&#113;&#114;&#116;&#123;&#99;&#125;&#41;&#94;&#50;&#32;&#92;&#92;&#92;&#108;&#97;&#109;&#98;&#100;&#97;&#94;&#43;&#32;&#38;&#61;&#92;&#115;&#105;&#103;&#109;&#97;&#94;&#50;&#32;&#40;&#49;&#43;&#92;&#115;&#113;&#114;&#116;&#123;&#99;&#125;&#41;&#94;&#50;&#92;&#101;&#110;&#100;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#46;&#46;&#92;&#93;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\"\/><\/p><br>In what follows, we denote <img loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/quentin-duchemin.alwaysdata.net\/wiki\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-beeac53c220126fd6d229100f2249658_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#103;&#95;&#123;&#77;&#80;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"34\" style=\"vertical-align: -4px;\"\/> the Stieltjes Transform of the measure <img loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/quentin-duchemin.alwaysdata.net\/wiki\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-e4fc54217e06cfea112b0ff29ec37bee_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#109;&#97;&#116;&#104;&#98;&#98;&#32;&#80;&#95;&#123;&#77;&#80;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"15\" width=\"36\" style=\"vertical-align: -3px;\"\/>.<\/em><\/p>\n\n\n\n<p><strong>Remark<\/strong><\/p>\n\n\n\n<ul><li>The behavior of the spectral measure brings information about the vast majority of the eigenvalues but is not affected by some individual eigenvalues&#8217; behavior. For example, one may have <img loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/quentin-duchemin.alwaysdata.net\/wiki\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-0c5737e866613ba6cb57562296fc5eed_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#108;&#97;&#109;&#98;&#100;&#97;&#95;&#123;&#92;&#109;&#97;&#120;&#125;&#32;&#92;&#116;&#111;&#32;&#92;&#105;&#110;&#102;&#116;&#121;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"15\" width=\"81\" style=\"vertical-align: -3px;\"\/> without affecting the behaviour of the whole sum.<\/li><li>The Dirac measure at zero is an artifact due to the dimensions of the matrix if <img loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/quentin-duchemin.alwaysdata.net\/wiki\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-23f503121154b92d8ca4a05cb2428ef5_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#78;&#62;&#110;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"14\" width=\"51\" style=\"vertical-align: -2px;\"\/>.<\/li><li>If <img loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/quentin-duchemin.alwaysdata.net\/wiki\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-43b4b9a619937ab9cf7bc45537dcdb80_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#99;&#32;&#92;&#116;&#111;&#32;&#48;&#94;&#43;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"15\" width=\"54\" style=\"vertical-align: -1px;\"\/>, that is <img loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/quentin-duchemin.alwaysdata.net\/wiki\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-4910886e0df7a265ca3f238ad26f470a_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#110;&#32;&#92;&#103;&#103;&#32;&#78;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"13\" width=\"54\" style=\"vertical-align: -1px;\"\/>, then typical from the usual regime &#8220;small dimensional data vs large samples&#8221;. The support of Marcenko-Pastur distribution <img loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/quentin-duchemin.alwaysdata.net\/wiki\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d31be14cd518b9792025ed1b59f72cf5_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#91;&#92;&#115;&#105;&#103;&#109;&#97;&#94;&#50;&#32;&#40;&#49;&#45;&#92;&#115;&#113;&#114;&#116;&#123;&#99;&#125;&#41;&#94;&#50;&#44;&#32;&#92;&#115;&#105;&#103;&#109;&#97;&#94;&#50;&#32;&#40;&#49;&#43;&#92;&#115;&#113;&#114;&#116;&#123;&#99;&#125;&#41;&#94;&#50;&#93;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"200\" style=\"vertical-align: -5px;\"\/> concentrates around <img loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/quentin-duchemin.alwaysdata.net\/wiki\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-eee7493ac46f66a223170367933ea221_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#123;&#92;&#115;&#105;&#103;&#109;&#97;&#94;&#50;&#92;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"34\" style=\"vertical-align: -5px;\"\/> and <p class=\"ql-center-displayed-equation\" style=\"line-height: 25px;\"><span class=\"ql-right-eqno\"> &nbsp; <\/span><span class=\"ql-left-eqno\"> &nbsp; <\/span><img loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/quentin-duchemin.alwaysdata.net\/wiki\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-64e398a189d876fa0efe37f148cd058c_l3.png\" height=\"25\" width=\"101\" class=\"ql-img-displayed-equation quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#91;&#92;&#109;&#97;&#116;&#104;&#98;&#98;&#32;&#80;&#95;&#123;&#77;&#80;&#125;&#32;&#92;&#117;&#110;&#100;&#101;&#114;&#115;&#101;&#116;&#123;&#99;&#92;&#116;&#111;&#32;&#48;&#125;&#123;&#92;&#116;&#111;&#125;&#92;&#100;&#101;&#108;&#116;&#97;&#95;&#123;&#92;&#115;&#105;&#103;&#109;&#97;&#94;&#50;&#125;&#46;&#92;&#93;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\"\/><\/p><\/li><\/ul>\n\n\n\n<p><em>Proof<\/em>.<br>We want to show that <a name=\"id1008455320\"><\/a><p class=\"ql-center-displayed-equation\" style=\"line-height: 31px;\"><span class=\"ql-right-eqno\"> (2) <\/span><span class=\"ql-left-eqno\"> &nbsp; <\/span><img loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/quentin-duchemin.alwaysdata.net\/wiki\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f4a428214a2c3623db982afe24ea8da3_l3.png\" height=\"31\" width=\"253\" class=\"ql-img-displayed-equation quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#98;&#101;&#103;&#105;&#110;&#123;&#101;&#113;&#117;&#97;&#116;&#105;&#111;&#110;&#42;&#125;&#92;&#102;&#111;&#114;&#97;&#108;&#108;&#32;&#122;&#32;&#92;&#105;&#110;&#32;&#92;&#109;&#97;&#116;&#104;&#98;&#98;&#32;&#67;&#94;&#43;&#44;&#32;&#92;&#113;&#117;&#97;&#100;&#32;&#103;&#95;&#123;&#110;&#125;&#40;&#122;&#41;&#32;&#92;&#111;&#118;&#101;&#114;&#115;&#101;&#116;&#123;&#97;&#46;&#115;&#46;&#125;&#123;&#92;&#117;&#110;&#100;&#101;&#114;&#115;&#101;&#116;&#123;&#78;&#44;&#110;&#32;&#92;&#116;&#111;&#32;&#92;&#105;&#110;&#102;&#116;&#121;&#125;&#123;&#92;&#116;&#111;&#125;&#125;&#32;&#103;&#95;&#123;&#77;&#80;&#125;&#40;&#122;&#41;&#46;&#92;&#101;&#110;&#100;&#123;&#101;&#113;&#117;&#97;&#116;&#105;&#111;&#110;&#42;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\"\/><\/p><br>This will allow to show that there exists some set <img loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/quentin-duchemin.alwaysdata.net\/wiki\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-5e4a0df4e7a77d62a1d0270f216f7c26_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#68;&#32;&#92;&#115;&#117;&#98;&#115;&#101;&#116;&#32;&#92;&#109;&#97;&#116;&#104;&#98;&#98;&#32;&#67;&#94;&#43;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"15\" width=\"62\" style=\"vertical-align: -1px;\"\/> a countable set with an accumulation point such that almost surely <p class=\"ql-center-displayed-equation\" style=\"line-height: 29px;\"><span class=\"ql-right-eqno\"> &nbsp; <\/span><span class=\"ql-left-eqno\"> &nbsp; <\/span><img loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/quentin-duchemin.alwaysdata.net\/wiki\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f4eceb21a315ed0fe75add8350060c98_l3.png\" height=\"29\" width=\"245\" class=\"ql-img-displayed-equation quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#91;&#92;&#102;&#111;&#114;&#97;&#108;&#108;&#32;&#122;&#32;&#92;&#105;&#110;&#32;&#68;&#44;&#32;&#92;&#113;&#117;&#97;&#100;&#32;&#103;&#95;&#110;&#40;&#122;&#41;&#32;&#92;&#117;&#110;&#100;&#101;&#114;&#115;&#101;&#116;&#123;&#78;&#44;&#110;&#32;&#92;&#116;&#111;&#32;&#92;&#105;&#110;&#102;&#116;&#121;&#125;&#123;&#92;&#116;&#111;&#125;&#32;&#103;&#95;&#123;&#77;&#80;&#125;&#40;&#122;&#41;&#46;&#92;&#93;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\"\/><\/p><br>Indeed, suppose that we know that (<a href=\"#id1008455320\">2<\/a>) holds et let us consider some sequence <img loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/quentin-duchemin.alwaysdata.net\/wiki\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-49287d934ab3935ca23d29fec2d68153_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#40;&#122;&#95;&#107;&#41;&#95;&#123;&#107;&#32;&#92;&#105;&#110;&#32;&#92;&#109;&#97;&#116;&#104;&#98;&#98;&#32;&#78;&#125;&#32;&#92;&#105;&#110;&#32;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#32;&#92;&#109;&#97;&#116;&#104;&#98;&#98;&#32;&#67;&#94;&#43;&#32;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#32;&#94;&#123;&#92;&#109;&#97;&#116;&#104;&#98;&#98;&#32;&#78;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"23\" width=\"126\" style=\"vertical-align: -5px;\"\/> with an accumulation point <img loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/quentin-duchemin.alwaysdata.net\/wiki\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-1d592d213f2ab3fab18193ae22965d24_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#122;&#94;&#42;&#32;&#92;&#105;&#110;&#32;&#92;&#109;&#97;&#116;&#104;&#98;&#98;&#32;&#67;&#94;&#43;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"15\" width=\"61\" style=\"vertical-align: -1px;\"\/>. One can typical take <img loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/quentin-duchemin.alwaysdata.net\/wiki\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-c5c44bc708ee4ce13ba54ea5f12d658c_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#122;&#95;&#107;&#61;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#49;&#125;&#123;&#107;&#125;&#43;&#105;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"22\" width=\"79\" style=\"vertical-align: -6px;\"\/> for all <img loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/quentin-duchemin.alwaysdata.net\/wiki\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a61210e8ea70009ea563c1b8bdf189a2_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#107;&#32;&#92;&#105;&#110;&#32;&#92;&#109;&#97;&#116;&#104;&#98;&#98;&#32;&#78;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"13\" width=\"44\" style=\"vertical-align: -1px;\"\/> and <img loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/quentin-duchemin.alwaysdata.net\/wiki\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d22c028ffecc5c84909d5b4599214f32_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#122;&#94;&#42;&#61;&#105;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"46\" style=\"vertical-align: 0px;\"\/>. Then, (<a href=\"#id1008455320\">2<\/a>) ensures that for any <img loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/quentin-duchemin.alwaysdata.net\/wiki\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a61210e8ea70009ea563c1b8bdf189a2_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#107;&#32;&#92;&#105;&#110;&#32;&#92;&#109;&#97;&#116;&#104;&#98;&#98;&#32;&#78;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"13\" width=\"44\" style=\"vertical-align: -1px;\"\/>, there exists some set <img loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/quentin-duchemin.alwaysdata.net\/wiki\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-07bd1c934318fb222c38f5caba6f02a9_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#79;&#109;&#101;&#103;&#97;&#95;&#107;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"15\" width=\"20\" style=\"vertical-align: -3px;\"\/> with <img loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/quentin-duchemin.alwaysdata.net\/wiki\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-bf59a5705637d742d6a48920a2d015c2_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#109;&#97;&#116;&#104;&#98;&#98;&#32;&#80;&#40;&#92;&#79;&#109;&#101;&#103;&#97;&#95;&#107;&#41;&#61;&#49;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"77\" style=\"vertical-align: -5px;\"\/> such that <br><a name=\"id4291922594\"><\/a><p class=\"ql-center-displayed-equation\" style=\"line-height: 31px;\"><span class=\"ql-right-eqno\"> (3) <\/span><span class=\"ql-left-eqno\"> &nbsp; <\/span><img loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/quentin-duchemin.alwaysdata.net\/wiki\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-74f7e954705bc1821c6b098a2c134682_l3.png\" height=\"31\" width=\"173\" class=\"ql-img-displayed-equation quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#98;&#101;&#103;&#105;&#110;&#123;&#101;&#113;&#117;&#97;&#116;&#105;&#111;&#110;&#42;&#125;&#103;&#95;&#123;&#110;&#125;&#40;&#122;&#95;&#107;&#41;&#32;&#92;&#111;&#118;&#101;&#114;&#115;&#101;&#116;&#123;&#97;&#46;&#115;&#46;&#125;&#123;&#92;&#117;&#110;&#100;&#101;&#114;&#115;&#101;&#116;&#123;&#78;&#44;&#110;&#32;&#92;&#116;&#111;&#32;&#92;&#105;&#110;&#102;&#116;&#121;&#125;&#123;&#92;&#116;&#111;&#125;&#125;&#32;&#103;&#95;&#123;&#77;&#80;&#125;&#40;&#122;&#95;&#107;&#41;&#92;&#101;&#110;&#100;&#123;&#101;&#113;&#117;&#97;&#116;&#105;&#111;&#110;&#42;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\"\/><\/p><br>holds for any <img loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/quentin-duchemin.alwaysdata.net\/wiki\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-5f9b17652693f33b74149d9ebab57c64_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#111;&#109;&#101;&#103;&#97;&#32;&#92;&#105;&#110;&#32;&#92;&#79;&#109;&#101;&#103;&#97;&#95;&#107;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"15\" width=\"53\" style=\"vertical-align: -3px;\"\/>. Let us denote now <img loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/quentin-duchemin.alwaysdata.net\/wiki\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-41481b4e7f7c66774aa5b43b629a0e01_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#79;&#109;&#101;&#103;&#97;&#58;&#61;&#32;&#92;&#98;&#105;&#103;&#99;&#97;&#112;&#95;&#123;&#107;&#32;&#92;&#105;&#110;&#32;&#92;&#109;&#97;&#116;&#104;&#98;&#98;&#32;&#78;&#125;&#32;&#92;&#79;&#109;&#101;&#103;&#97;&#95;&#107;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"106\" style=\"vertical-align: -6px;\"\/> and <img loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/quentin-duchemin.alwaysdata.net\/wiki\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-e698f3c98109eb3731272171050f7bf9_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#68;&#32;&#61;&#32;&#92;&#98;&#105;&#103;&#99;&#117;&#112;&#95;&#123;&#107;&#32;&#92;&#105;&#110;&#32;&#92;&#109;&#97;&#116;&#104;&#98;&#98;&#32;&#78;&#125;&#32;&#92;&#123;&#122;&#95;&#107;&#92;&#125;&#32;&#92;&#99;&#117;&#112;&#32;&#92;&#123;&#122;&#94;&#42;&#92;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"168\" style=\"vertical-align: -6px;\"\/>. We get that <img loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/quentin-duchemin.alwaysdata.net\/wiki\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-8d7d8612569bf0daf241dd291f5a058b_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#109;&#97;&#116;&#104;&#98;&#98;&#32;&#80;&#40;&#92;&#79;&#109;&#101;&#103;&#97;&#41;&#61;&#49;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"69\" style=\"vertical-align: -5px;\"\/> and for all <img loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/quentin-duchemin.alwaysdata.net\/wiki\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-998c23ce7fabafc116c9a7b879755b51_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#111;&#109;&#101;&#103;&#97;&#32;&#92;&#105;&#110;&#32;&#92;&#79;&#109;&#101;&#103;&#97;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"13\" width=\"45\" style=\"vertical-align: -1px;\"\/>, it holds <p class=\"ql-center-displayed-equation\" style=\"line-height: 31px;\"><span class=\"ql-right-eqno\"> &nbsp; <\/span><span class=\"ql-left-eqno\"> &nbsp; <\/span><img loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/quentin-duchemin.alwaysdata.net\/wiki\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-dd079a2d8545bf9bcfce3d3a69514d9f_l3.png\" height=\"31\" width=\"245\" class=\"ql-img-displayed-equation quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#91;&#92;&#102;&#111;&#114;&#97;&#108;&#108;&#32;&#122;&#32;&#92;&#105;&#110;&#32;&#68;&#44;&#32;&#92;&#113;&#117;&#97;&#100;&#32;&#103;&#95;&#123;&#110;&#125;&#40;&#122;&#41;&#32;&#92;&#111;&#118;&#101;&#114;&#115;&#101;&#116;&#123;&#97;&#46;&#115;&#46;&#125;&#123;&#92;&#117;&#110;&#100;&#101;&#114;&#115;&#101;&#116;&#123;&#78;&#44;&#110;&#32;&#92;&#116;&#111;&#32;&#92;&#105;&#110;&#102;&#116;&#121;&#125;&#123;&#92;&#116;&#111;&#125;&#125;&#32;&#103;&#95;&#123;&#77;&#80;&#125;&#40;&#122;&#41;&#44;&#92;&#93;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\"\/><\/p><br>(note that we used the continuity of the functions <img loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/quentin-duchemin.alwaysdata.net\/wiki\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-169d0a90a911899e29600748d99e9e47_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#40;&#103;&#95;&#110;&#41;&#95;&#110;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"39\" style=\"vertical-align: -5px;\"\/> and <img loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/quentin-duchemin.alwaysdata.net\/wiki\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-beeac53c220126fd6d229100f2249658_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#103;&#95;&#123;&#77;&#80;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"34\" style=\"vertical-align: -4px;\"\/> to ensure that (<a href=\"#id4291922594\">3<\/a>) implies that for all <img loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/quentin-duchemin.alwaysdata.net\/wiki\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-998c23ce7fabafc116c9a7b879755b51_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#111;&#109;&#101;&#103;&#97;&#32;&#92;&#105;&#110;&#32;&#92;&#79;&#109;&#101;&#103;&#97;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"13\" width=\"45\" style=\"vertical-align: -1px;\"\/>, it holds <img loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/quentin-duchemin.alwaysdata.net\/wiki\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d607d057d9f340e083039949ed1d1ade_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#103;&#95;&#123;&#110;&#125;&#40;&#122;&#94;&#42;&#41;&#32;&#92;&#111;&#118;&#101;&#114;&#115;&#101;&#116;&#123;&#97;&#46;&#115;&#46;&#125;&#123;&#92;&#117;&#110;&#100;&#101;&#114;&#115;&#101;&#116;&#123;&#78;&#44;&#110;&#32;&#92;&#116;&#111;&#32;&#92;&#105;&#110;&#102;&#116;&#121;&#125;&#123;&#92;&#116;&#111;&#125;&#125;&#32;&#103;&#95;&#123;&#77;&#80;&#125;&#40;&#122;&#94;&#42;&#41;&#41;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"31\" width=\"185\" style=\"vertical-align: -15px;\"\/> <\/p>\n\n\n\n<p>We will then conclude the proof of the Theorem using the Theorem of the previous section (called <em>Weak convergence and pointwise convergence of Stieltjes Transform<\/em>).<\/p>\n\n\n\n<p>To prove (<a href=\"#id1008455320\">2<\/a>), we use the decomposition <p class=\"ql-center-displayed-equation\" style=\"line-height: 48px;\"><span class=\"ql-right-eqno\"> &nbsp; <\/span><span class=\"ql-left-eqno\"> &nbsp; <\/span><img loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/quentin-duchemin.alwaysdata.net\/wiki\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-c6a59f314d94e6b9239ef7b7a147d8cb_l3.png\" height=\"48\" width=\"525\" class=\"ql-img-displayed-equation quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#91;&#92;&#102;&#111;&#114;&#97;&#108;&#108;&#32;&#122;&#32;&#92;&#105;&#110;&#32;&#92;&#109;&#97;&#116;&#104;&#98;&#98;&#32;&#67;&#94;&#43;&#44;&#32;&#92;&#113;&#117;&#97;&#100;&#32;&#103;&#95;&#110;&#40;&#122;&#41;&#32;&#45;&#103;&#95;&#123;&#77;&#80;&#125;&#40;&#122;&#41;&#32;&#61;&#32;&#92;&#117;&#110;&#100;&#101;&#114;&#98;&#114;&#97;&#99;&#101;&#123;&#103;&#95;&#110;&#40;&#122;&#41;&#32;&#45;&#32;&#92;&#109;&#97;&#116;&#104;&#98;&#98;&#32;&#69;&#32;&#91;&#32;&#103;&#95;&#110;&#40;&#122;&#41;&#93;&#125;&#95;&#123;&#61;&#40;&#49;&#41;&#125;&#32;&#43;&#32;&#92;&#117;&#110;&#100;&#101;&#114;&#98;&#114;&#97;&#99;&#101;&#123;&#92;&#109;&#97;&#116;&#104;&#98;&#98;&#32;&#69;&#91;&#103;&#95;&#110;&#40;&#122;&#41;&#93;&#32;&#45;&#32;&#103;&#95;&#123;&#77;&#80;&#125;&#40;&#122;&#41;&#125;&#95;&#123;&#61;&#40;&#50;&#41;&#125;&#46;&#92;&#93;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\"\/><\/p><\/p>\n\n\n\n<ol><li>To deal with the term <img loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/quentin-duchemin.alwaysdata.net\/wiki\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-93d60e3fa59910a72184d3a64b54d6b7_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#40;&#49;&#41;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"21\" style=\"vertical-align: -5px;\"\/>, we use the Efron-Stein inequality to show that <p class=\"ql-center-displayed-equation\" style=\"line-height: 43px;\"><span class=\"ql-right-eqno\"> &nbsp; <\/span><span class=\"ql-left-eqno\"> &nbsp; <\/span><img loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/quentin-duchemin.alwaysdata.net\/wiki\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ed6b88a01aa1dd5442cd60640b46391d_l3.png\" height=\"43\" width=\"183\" class=\"ql-img-displayed-equation quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#91;&#86;&#97;&#114;&#40;&#103;&#95;&#110;&#40;&#122;&#41;&#41;&#32;&#61;&#32;&#92;&#109;&#97;&#116;&#104;&#99;&#97;&#108;&#32;&#79;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#49;&#125;&#123;&#110;&#94;&#50;&#125;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#44;&#32;&#92;&#93;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\"\/><\/p><br>which allows to prove that almost surely <img loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/quentin-duchemin.alwaysdata.net\/wiki\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f0f42caf9e972ec048dbeab8c7f3a7c3_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#103;&#95;&#110;&#40;&#122;&#41;&#32;&#45;&#32;&#92;&#109;&#97;&#116;&#104;&#98;&#98;&#32;&#69;&#32;&#91;&#32;&#103;&#95;&#110;&#40;&#122;&#41;&#93;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"122\" style=\"vertical-align: -5px;\"\/> tends to <img loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/quentin-duchemin.alwaysdata.net\/wiki\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a5e437be25f29374d30f66cd46adf81c_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#48;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"9\" style=\"vertical-align: 0px;\"\/> using Borel-Cantelli Lemma.<\/li><li>We then show that <img loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/quentin-duchemin.alwaysdata.net\/wiki\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-65efe098aa4c21f36df50474ed087b33_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#109;&#97;&#116;&#104;&#98;&#98;&#32;&#69;&#32;&#103;&#95;&#110;&#40;&#122;&#41;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"51\" style=\"vertical-align: -5px;\"\/> satisfies <a name=\"id2952377895\"><\/a><p class=\"ql-center-displayed-equation\" style=\"line-height: 24px;\"><span class=\"ql-right-eqno\"> (4) <\/span><span class=\"ql-left-eqno\"> &nbsp; <\/span><img loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/quentin-duchemin.alwaysdata.net\/wiki\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-1f1d491745b2775153b4defddcaba3ba_l3.png\" height=\"24\" width=\"449\" class=\"ql-img-displayed-equation quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#98;&#101;&#103;&#105;&#110;&#123;&#101;&#113;&#117;&#97;&#116;&#105;&#111;&#110;&#42;&#125;&#32;&#32;&#122;&#32;&#92;&#115;&#105;&#103;&#109;&#97;&#94;&#50;&#32;&#99;&#95;&#110;&#32;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#32;&#92;&#109;&#97;&#116;&#104;&#98;&#98;&#32;&#69;&#32;&#103;&#95;&#110;&#40;&#122;&#41;&#32;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#94;&#50;&#43;&#32;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#91;&#32;&#122;&#32;&#43;&#32;&#92;&#115;&#105;&#103;&#109;&#97;&#94;&#50;&#40;&#99;&#95;&#110;&#45;&#49;&#41;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#93;&#32;&#92;&#109;&#97;&#116;&#104;&#98;&#98;&#32;&#69;&#32;&#103;&#95;&#110;&#40;&#122;&#41;&#43;&#49;&#32;&#61;&#32;&#92;&#109;&#97;&#116;&#104;&#99;&#97;&#108;&#32;&#79;&#95;&#122;&#40;&#110;&#94;&#123;&#49;&#47;&#50;&#125;&#41;&#44;&#92;&#101;&#110;&#100;&#123;&#101;&#113;&#117;&#97;&#116;&#105;&#111;&#110;&#42;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\"\/><\/p> and that <img loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/quentin-duchemin.alwaysdata.net\/wiki\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-beeac53c220126fd6d229100f2249658_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#103;&#95;&#123;&#77;&#80;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"34\" style=\"vertical-align: -4px;\"\/> satisfies the equation<br><a name=\"id3195826210\"><\/a><p class=\"ql-center-displayed-equation\" style=\"line-height: 23px;\"><span class=\"ql-right-eqno\"> (5) <\/span><span class=\"ql-left-eqno\"> &nbsp; <\/span><img loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/quentin-duchemin.alwaysdata.net\/wiki\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-424118d0b7cdf6ec42fcd3d778096c6e_l3.png\" height=\"23\" width=\"405\" class=\"ql-img-displayed-equation quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#98;&#101;&#103;&#105;&#110;&#123;&#101;&#113;&#117;&#97;&#116;&#105;&#111;&#110;&#42;&#125;&#32;&#32;&#122;&#32;&#92;&#115;&#105;&#103;&#109;&#97;&#94;&#50;&#32;&#99;&#32;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#32;&#92;&#109;&#97;&#116;&#104;&#98;&#98;&#32;&#69;&#32;&#103;&#95;&#123;&#77;&#80;&#125;&#40;&#122;&#41;&#32;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#94;&#50;&#43;&#32;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#91;&#32;&#122;&#32;&#43;&#32;&#92;&#115;&#105;&#103;&#109;&#97;&#94;&#50;&#40;&#99;&#45;&#49;&#41;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#93;&#32;&#92;&#109;&#97;&#116;&#104;&#98;&#98;&#32;&#69;&#32;&#103;&#95;&#123;&#77;&#80;&#125;&#40;&#122;&#41;&#43;&#49;&#32;&#61;&#48;&#46;&#32;&#92;&#101;&#110;&#100;&#123;&#101;&#113;&#117;&#97;&#116;&#105;&#111;&#110;&#42;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\"\/><\/p><\/li><li>To conclude the proof (i.e. to get (<a href=\"#id1008455320\">2<\/a>)), we use some &#8220;stability&#8221; result. More precisely, equations (<a href=\"#id2952377895\">4<\/a>) and (<a href=\"#id3195826210\">5<\/a>) are close and we need to show that solutions of these equations are as a consequence, close to each other. We formalize this result with the following Lemma.<\/li><\/ol>\n\n\n\n<p><strong>Lemma<\/strong><br>Let <img loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/quentin-duchemin.alwaysdata.net\/wiki\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-85279071586dc4c9c41c55d4a2801fb1_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#122;&#92;&#105;&#110;&#32;&#92;&#109;&#97;&#116;&#104;&#98;&#98;&#32;&#67;&#94;&#43;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"15\" width=\"54\" style=\"vertical-align: -1px;\"\/>. We assume that there exists two Stieltjes Transform of probability measures on <img loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/quentin-duchemin.alwaysdata.net\/wiki\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-01de6f014ebff461a0c50b09a687f59a_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#109;&#97;&#116;&#104;&#98;&#98;&#32;&#82;&#94;&#43;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"14\" width=\"23\" style=\"vertical-align: 0px;\"\/>, denoted <img loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/quentin-duchemin.alwaysdata.net\/wiki\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-8254e45b73d22b2e2d796a0a2ae5e55b_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#88;&#44;&#32;&#88;&#95;&#123;&#92;&#100;&#101;&#108;&#116;&#97;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"16\" width=\"45\" style=\"vertical-align: -4px;\"\/>,  that are respectively the solutions of the equation<br><p class=\"ql-center-displayed-equation\" style=\"line-height: 52px;\"><span class=\"ql-right-eqno\"> &nbsp; <\/span><span class=\"ql-left-eqno\"> &nbsp; <\/span><img loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/quentin-duchemin.alwaysdata.net\/wiki\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-5695ce0298dce6780fbd569209e03448_l3.png\" height=\"52\" width=\"303\" class=\"ql-img-displayed-equation quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#98;&#101;&#103;&#105;&#110;&#123;&#97;&#108;&#105;&#103;&#110;&#42;&#125;&#122;&#32;&#92;&#115;&#105;&#103;&#109;&#97;&#94;&#50;&#32;&#99;&#32;&#88;&#94;&#50;&#43;&#32;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#91;&#32;&#122;&#32;&#43;&#32;&#92;&#115;&#105;&#103;&#109;&#97;&#94;&#50;&#40;&#99;&#45;&#49;&#41;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#93;&#88;&#43;&#49;&#32;&#38;&#61;&#48;&#32;&#92;&#92;&#122;&#32;&#92;&#115;&#105;&#103;&#109;&#97;&#94;&#50;&#32;&#99;&#95;&#123;&#92;&#100;&#101;&#108;&#116;&#97;&#125;&#32;&#88;&#95;&#123;&#92;&#100;&#101;&#108;&#116;&#97;&#125;&#94;&#50;&#43;&#32;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#91;&#32;&#122;&#32;&#43;&#32;&#92;&#115;&#105;&#103;&#109;&#97;&#94;&#50;&#40;&#99;&#95;&#123;&#92;&#100;&#101;&#108;&#116;&#97;&#125;&#45;&#49;&#41;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#93;&#88;&#95;&#123;&#92;&#100;&#101;&#108;&#116;&#97;&#125;&#43;&#49;&#32;&#38;&#61;&#48;&#32;&#44;&#92;&#101;&#110;&#100;&#123;&#97;&#108;&#105;&#103;&#110;&#42;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\"\/><\/p><br>where <img loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/quentin-duchemin.alwaysdata.net\/wiki\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-5a34b635085fc3f747560ce6842801d7_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#99;&#44;&#99;&#95;&#123;&#92;&#100;&#101;&#108;&#116;&#97;&#125;&#62;&#48;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"16\" width=\"63\" style=\"vertical-align: -4px;\"\/>. Then <p class=\"ql-center-displayed-equation\" style=\"line-height: 19px;\"><span class=\"ql-right-eqno\"> &nbsp; <\/span><span class=\"ql-left-eqno\"> &nbsp; <\/span><img loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/quentin-duchemin.alwaysdata.net\/wiki\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-dfc6c01611d85ee57941b572f083949b_l3.png\" height=\"19\" width=\"261\" class=\"ql-img-displayed-equation quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#91;&#124;&#88;&#45;&#88;&#95;&#123;&#92;&#100;&#101;&#108;&#116;&#97;&#125;&#124;&#32;&#61;&#32;&#92;&#109;&#97;&#116;&#104;&#99;&#97;&#108;&#32;&#79;&#95;&#122;&#40;&#124;&#92;&#100;&#101;&#108;&#116;&#97;&#124;&#41;&#43;&#92;&#109;&#97;&#116;&#104;&#99;&#97;&#108;&#32;&#79;&#95;&#122;&#40;&#124;&#99;&#45;&#99;&#95;&#123;&#92;&#100;&#101;&#108;&#116;&#97;&#125;&#124;&#41;&#46;&#92;&#93;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\"\/><\/p><\/p>\n\n\n\n<p><\/p>\n\n\n\n<p><\/p>\n\n\n\n<p>Let <p class=\"ql-center-displayed-equation\" style=\"line-height: 43px;\"><span class=\"ql-right-eqno\"> &nbsp; <\/span><span class=\"ql-left-eqno\"> &nbsp; <\/span><img loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/quentin-duchemin.alwaysdata.net\/wiki\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-81841282f596c96c0506cc9c277785b7_l3.png\" height=\"43\" width=\"205\" class=\"ql-img-displayed-equation quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#91;&#92;&#108;&#97;&#109;&#98;&#100;&#97;&#95;&#123;&#92;&#109;&#97;&#120;&#32;&#125;&#32;&#61;&#32;&#92;&#108;&#97;&#109;&#98;&#100;&#97;&#95;&#123;&#109;&#97;&#120;&#125;&#32;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#32;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#49;&#125;&#123;&#110;&#125;&#32;&#88;&#95;&#78;&#32;&#88;&#95;&#78;&#94;&#42;&#32;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#44;&#92;&#93;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\"\/><\/p><br>and <p class=\"ql-center-displayed-equation\" style=\"line-height: 43px;\"><span class=\"ql-right-eqno\"> &nbsp; <\/span><span class=\"ql-left-eqno\"> &nbsp; <\/span><img loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/quentin-duchemin.alwaysdata.net\/wiki\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-3a32cdc0409a59ec5571f324225f95e1_l3.png\" height=\"43\" width=\"200\" class=\"ql-img-displayed-equation quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#91;&#92;&#108;&#97;&#109;&#98;&#100;&#97;&#95;&#123;&#92;&#109;&#105;&#110;&#125;&#32;&#61;&#32;&#92;&#108;&#97;&#109;&#98;&#100;&#97;&#95;&#123;&#109;&#105;&#110;&#125;&#32;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#32;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#49;&#125;&#123;&#110;&#125;&#32;&#88;&#95;&#78;&#32;&#88;&#95;&#78;&#94;&#42;&#32;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#46;&#92;&#93;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\"\/><\/p><\/p>\n\n\n\n<p><strong>Theorem (convergence of extremal eigenvalues)<\/strong><\/p>\n\n\n\n<ul><li>If  <img loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/quentin-duchemin.alwaysdata.net\/wiki\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-c9aca35bd1ea9bc53ff7339ba7832d8b_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#109;&#97;&#116;&#104;&#98;&#98;&#32;&#69;&#32;&#124;&#88;&#95;&#123;&#105;&#44;&#106;&#125;&#124;&#94;&#52;&#60;&#92;&#105;&#110;&#102;&#116;&#121;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"21\" width=\"100\" style=\"vertical-align: -6px;\"\/>, then <p class=\"ql-center-displayed-equation\" style=\"line-height: 32px;\"><span class=\"ql-right-eqno\"> &nbsp; <\/span><span class=\"ql-left-eqno\"> &nbsp; <\/span><img loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/quentin-duchemin.alwaysdata.net\/wiki\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-16e9b86fcabc2cb039ecc399f71fde14_l3.png\" height=\"32\" width=\"447\" class=\"ql-img-displayed-equation quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#91;&#92;&#108;&#97;&#109;&#98;&#100;&#97;&#95;&#123;&#92;&#109;&#97;&#120;&#125;&#32;&#32;&#92;&#111;&#118;&#101;&#114;&#115;&#101;&#116;&#123;&#97;&#46;&#115;&#46;&#125;&#123;&#92;&#117;&#110;&#100;&#101;&#114;&#115;&#101;&#116;&#123;&#78;&#44;&#110;&#32;&#92;&#116;&#111;&#32;&#92;&#105;&#110;&#102;&#116;&#121;&#125;&#123;&#92;&#116;&#111;&#125;&#125;&#32;&#92;&#115;&#105;&#103;&#109;&#97;&#94;&#50;&#40;&#49;&#43;&#92;&#115;&#113;&#114;&#116;&#123;&#99;&#125;&#41;&#94;&#50;&#32;&#92;&#113;&#117;&#97;&#100;&#32;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#97;&#110;&#100;&#125;&#32;&#92;&#113;&#117;&#97;&#100;&#32;&#92;&#108;&#97;&#109;&#98;&#100;&#97;&#95;&#123;&#92;&#109;&#105;&#110;&#125;&#32;&#92;&#111;&#118;&#101;&#114;&#115;&#101;&#116;&#123;&#97;&#46;&#115;&#46;&#125;&#123;&#92;&#117;&#110;&#100;&#101;&#114;&#115;&#101;&#116;&#123;&#78;&#44;&#110;&#32;&#92;&#116;&#111;&#32;&#92;&#105;&#110;&#102;&#116;&#121;&#125;&#123;&#92;&#116;&#111;&#125;&#125;&#32;&#92;&#115;&#105;&#103;&#109;&#97;&#94;&#50;&#40;&#49;&#45;&#92;&#115;&#113;&#114;&#116;&#123;&#99;&#125;&#41;&#94;&#50;&#46;&#92;&#93;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\"\/><\/p><\/li><li>If <img loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/quentin-duchemin.alwaysdata.net\/wiki\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-8a3be62cec7f303087222c98596bd63c_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#109;&#97;&#116;&#104;&#98;&#98;&#32;&#69;&#32;&#124;&#88;&#95;&#123;&#105;&#44;&#106;&#125;&#124;&#94;&#52;&#61;&#92;&#105;&#110;&#102;&#116;&#121;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"21\" width=\"100\" style=\"vertical-align: -6px;\"\/>, then <p class=\"ql-center-displayed-equation\" style=\"line-height: 32px;\"><span class=\"ql-right-eqno\"> &nbsp; <\/span><span class=\"ql-left-eqno\"> &nbsp; <\/span><img loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/quentin-duchemin.alwaysdata.net\/wiki\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-065804977c836ce9ccc584b9dcd7b5e1_l3.png\" height=\"32\" width=\"385\" class=\"ql-img-displayed-equation quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#91;&#92;&#108;&#97;&#109;&#98;&#100;&#97;&#95;&#123;&#92;&#109;&#97;&#120;&#125;&#32;&#92;&#111;&#118;&#101;&#114;&#115;&#101;&#116;&#123;&#97;&#46;&#115;&#46;&#125;&#123;&#92;&#117;&#110;&#100;&#101;&#114;&#115;&#101;&#116;&#123;&#78;&#44;&#110;&#32;&#92;&#116;&#111;&#32;&#92;&#105;&#110;&#102;&#116;&#121;&#125;&#123;&#92;&#116;&#111;&#125;&#125;&#32;&#43;&#92;&#105;&#110;&#102;&#116;&#121;&#32;&#92;&#113;&#117;&#97;&#100;&#32;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#97;&#110;&#100;&#125;&#32;&#92;&#113;&#117;&#97;&#100;&#32;&#92;&#108;&#97;&#109;&#98;&#100;&#97;&#95;&#123;&#92;&#109;&#105;&#110;&#125;&#32;&#92;&#111;&#118;&#101;&#114;&#115;&#101;&#116;&#123;&#97;&#46;&#115;&#46;&#125;&#123;&#92;&#117;&#110;&#100;&#101;&#114;&#115;&#101;&#116;&#123;&#78;&#44;&#110;&#32;&#92;&#116;&#111;&#32;&#92;&#105;&#110;&#102;&#116;&#121;&#125;&#123;&#92;&#116;&#111;&#125;&#125;&#32;&#92;&#115;&#105;&#103;&#109;&#97;&#94;&#50;&#40;&#49;&#45;&#92;&#115;&#113;&#114;&#116;&#123;&#99;&#125;&#41;&#94;&#50;&#46;&#92;&#93;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\"\/><\/p><\/li><\/ul>\n\n\n\n<p><strong>Remark<\/strong>.<br>Exactly like with Wigner matrices, when the 4th moment of the random varaibles <img loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/quentin-duchemin.alwaysdata.net\/wiki\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-0e4f56c5470edb68be95abe778a5c8ee_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#88;&#95;&#123;&#105;&#44;&#106;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"30\" style=\"vertical-align: -6px;\"\/> are not finite, <img loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/quentin-duchemin.alwaysdata.net\/wiki\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f15757b207aa87e06727f967c8986903_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#108;&#97;&#109;&#98;&#100;&#97;&#95;&#123;&#92;&#109;&#97;&#120;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"15\" width=\"36\" style=\"vertical-align: -3px;\"\/> goes to <img loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/quentin-duchemin.alwaysdata.net\/wiki\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a043fc7cc21133d8c1d8fdcb8fbbe8eb_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#43;&#92;&#105;&#110;&#102;&#116;&#121;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"13\" width=\"31\" style=\"vertical-align: -2px;\"\/>. However, contrary to the Wigner case, for Wishart matrices <img loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/quentin-duchemin.alwaysdata.net\/wiki\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-29f0768eebe123d5c762bfe7e83fe3cf_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#108;&#97;&#109;&#98;&#100;&#97;&#95;&#123;&#92;&#109;&#105;&#110;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"15\" width=\"33\" style=\"vertical-align: -3px;\"\/> still converges to a finite value.<\/p>\n\n\n\n<p><strong>Theorem (Fluctuations of <img loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/quentin-duchemin.alwaysdata.net\/wiki\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f15757b207aa87e06727f967c8986903_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#108;&#97;&#109;&#98;&#100;&#97;&#95;&#123;&#92;&#109;&#97;&#120;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"15\" width=\"36\" style=\"vertical-align: -3px;\"\/> and Tracy-Widom distribution)<br><\/strong>We can fully describe the fluctuations of <img loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/quentin-duchemin.alwaysdata.net\/wiki\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f15757b207aa87e06727f967c8986903_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#108;&#97;&#109;&#98;&#100;&#97;&#95;&#123;&#92;&#109;&#97;&#120;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"15\" width=\"36\" style=\"vertical-align: -3px;\"\/>:<br><p class=\"ql-center-displayed-equation\" style=\"line-height: 43px;\"><span class=\"ql-right-eqno\"> &nbsp; <\/span><span class=\"ql-left-eqno\"> &nbsp; <\/span><img loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/quentin-duchemin.alwaysdata.net\/wiki\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-57145078325e41bea4099853c0c983ed_l3.png\" height=\"43\" width=\"325\" class=\"ql-img-displayed-equation quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#91;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#78;&#94;&#123;&#50;&#47;&#51;&#125;&#125;&#123;&#92;&#84;&#104;&#101;&#116;&#97;&#95;&#78;&#125;&#32;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#92;&#123;&#32;&#32;&#92;&#108;&#97;&#109;&#98;&#100;&#97;&#95;&#123;&#92;&#109;&#97;&#120;&#32;&#125;&#32;&#45;&#32;&#92;&#115;&#105;&#103;&#109;&#97;&#94;&#50;&#40;&#49;&#43;&#92;&#115;&#113;&#114;&#116;&#123;&#99;&#95;&#110;&#125;&#41;&#94;&#50;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#92;&#125;&#32;&#92;&#111;&#118;&#101;&#114;&#115;&#101;&#116;&#123;&#92;&#109;&#97;&#116;&#104;&#99;&#97;&#108;&#32;&#68;&#125;&#123;&#92;&#117;&#110;&#100;&#101;&#114;&#115;&#101;&#116;&#123;&#78;&#44;&#110;&#92;&#116;&#111;&#32;&#92;&#105;&#110;&#102;&#116;&#121;&#125;&#123;&#92;&#116;&#111;&#125;&#125;&#32;&#92;&#109;&#97;&#116;&#104;&#98;&#98;&#32;&#80;&#95;&#123;&#84;&#87;&#125;&#44;&#92;&#93;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\"\/><\/p><br>where<br><p class=\"ql-center-displayed-equation\" style=\"line-height: 48px;\"><span class=\"ql-right-eqno\"> &nbsp; <\/span><span class=\"ql-left-eqno\"> &nbsp; <\/span><img loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/quentin-duchemin.alwaysdata.net\/wiki\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-c11e6b847581d95c0b6953922ed7d4af_l3.png\" height=\"48\" width=\"401\" class=\"ql-img-displayed-equation quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#91;&#99;&#95;&#110;&#61;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#78;&#125;&#123;&#110;&#125;&#32;&#92;&#113;&#117;&#97;&#100;&#32;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#97;&#110;&#100;&#125;&#32;&#92;&#113;&#117;&#97;&#100;&#32;&#32;&#92;&#84;&#104;&#101;&#116;&#97;&#95;&#78;&#32;&#61;&#32;&#92;&#115;&#105;&#103;&#109;&#97;&#94;&#50;&#40;&#49;&#43;&#92;&#115;&#113;&#114;&#116;&#123;&#99;&#95;&#110;&#125;&#41;&#94;&#50;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#32;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#49;&#125;&#123;&#92;&#115;&#113;&#114;&#116;&#123;&#99;&#95;&#110;&#125;&#125;&#43;&#49;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#94;&#123;&#49;&#47;&#51;&#125;&#46;&#92;&#93;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\"\/><\/p><\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>I. Wigner&#8217;s theorem DefinitionLet . The probability distribution on defined by &nbsp; &nbsp; is called the semi-circular distribution. We denote . Wigner&#8217;s Theorem&#8211; Let i.i.d. centered, complex valued and with . &#8211; Let i.i.d. centered, real valued with . &#8211; The &#8216;s and the &#8216;s () are independent. &#8211; Consider and the hermitian matrices defined<\/p>\n<div class=\"more-link\">\n             <a href=\"https:\/\/quentin-duchemin.alwaysdata.net\/wiki\/index.php\/2021\/04\/09\/wigner-and-marcenko-pastur-theorems\/\" class=\"read-more\">Read More<i class=\"fa fa-caret-right\"><\/i><\/a>\n        <\/div>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"closed","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":[],"categories":[18],"tags":[],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/quentin-duchemin.alwaysdata.net\/wiki\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/502"}],"collection":[{"href":"https:\/\/quentin-duchemin.alwaysdata.net\/wiki\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/quentin-duchemin.alwaysdata.net\/wiki\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/quentin-duchemin.alwaysdata.net\/wiki\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/quentin-duchemin.alwaysdata.net\/wiki\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=502"}],"version-history":[{"count":134,"href":"https:\/\/quentin-duchemin.alwaysdata.net\/wiki\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/502\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":768,"href":"https:\/\/quentin-duchemin.alwaysdata.net\/wiki\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/502\/revisions\/768"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/quentin-duchemin.alwaysdata.net\/wiki\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=502"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/quentin-duchemin.alwaysdata.net\/wiki\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=502"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/quentin-duchemin.alwaysdata.net\/wiki\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=502"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}