Quentin Duchemin<\/title>\n\n \n <link href=\"https:\/\/maxcdn.bootstrapcdn.com\/bootstrap\/3.3.5\/css\/bootstrap.min.css\" rel=\"stylesheet\">\n <link rel=\"stylesheet\" href=\"https:\/\/cdnjs.cloudflare.com\/ajax\/libs\/font-awesome\/4.7.0\/css\/font-awesome.min.css\">\n\n \n \n \n\n <script type=\"text\/javascript\">\nfunction myFunction(int) {\n \tdocument.getElementById(\"TRUE\"+int).style.backgroundColor = '#00FF00' ;\n \tdocument.getElementById(\"FALSE\"+int).style.backgroundColor = '#D3D3D3' ;\n var x = document.getElementById(\"true\"+int).value;\n document.getElementById(\"message\"+int).innerHTML = \"\";\n $(\"#message\"+int).append(x);\n MathJax.Hub.Queue([\"Typeset\",MathJax.Hub]) \n}\nfunction myFunction2(int) {\n\n document.getElementById(\"FALSE\"+int).style.backgroundColor ='#FF0000';\n document.getElementById(\"TRUE\"+int).style.backgroundColor = '#D3D3D3';\n\n var x = document.getElementById(\"false\"+int).value;\n document.getElementById(\"message\"+int).innerHTML = \"\";\n $(\"#message\"+int).append(x);\n MathJax.Hub.Queue([\"Typeset\",MathJax.Hub]) \n}\n\nfunction correction(int) {\n var x = document.getElementById(\"corrige\"+int).value;\n document.getElementById(\"message\"+int).innerHTML = \"\";\n $(\"#message\"+int).append(x);\n MathJax.Hub.Queue([\"Typeset\",MathJax.Hub]) \n}\n\n\nfunction choix_multiple(int,bools) {\n\tresult = true;\n\tfor (i = 0; i < bools.length; i++){\n\t\tif (bools[i]) {\n\t\t\tresult = result && (document.getElementById(\"qcm\"+int).choix[i].checked);\n\t\t}\n\t\telse {\n\t\t\tresult = result && !(document.getElementById(\"qcm\"+int).choix[i].checked);\n\t\t}\n\t} \n\tif (result) {\n\t\tdocument.getElementById(\"box\"+int).style.backgroundColor ='#00FF00';\n\t\tvar x = document.getElementById(\"true\"+int).value;\n \tdocument.getElementById(\"message\"+int).innerHTML = \"\";\n \t$(\"#message\"+int).append(x);\n \tMathJax.Hub.Queue([\"Typeset\",MathJax.Hub]) \n\t} else {\n\t\tdocument.getElementById(\"box\"+int).style.backgroundColor ='#FF0000';\n\t\tvar x = document.getElementById(\"false\"+int).value;\n \tdocument.getElementById(\"message\"+int).innerHTML = \"\";\n \t$(\"#message\"+int).append(x);\n \tMathJax.Hub.Queue([\"Typeset\",MathJax.Hub]) \n\t}\n}\n\n <\/script>\n\n<script src=\"https:\/\/ajax.googleapis.com\/ajax\/libs\/jquery\/2.1.1\/jquery.min.js\"><\/script>\n<script type=\"text\/javascript\"\n src=\"https:\/\/cdn.mathjax.org\/mathjax\/latest\/MathJax.js?config=TeX-AMS-MML_HTMLorMML\">\n <\/script>\n <script type=\"text\/x-mathjax-config\">\n MathJax.Hub.Config({\n tex2jax: {inlineMath: [[\"$\",\"$\"],[\"\\\$\",\"\\\$\"]]}\n });\n <\/script>\n <script type=\"text\/javascript\" src=\"http:\/\/latex.codecogs.com\/latexit.js\"><\/script>\n\n\n<\/head> \n\n\n <div id=\"content-area\">\n\n <input type=\"hidden\" id=\"true1\" value=\"En effet, tout \u00e9l\u00e9ment $x \\in A$ admet une unique image par $f$ dans $F$, mais l'ensemble $f(A)$ peut potentiellement \u00eatre de cardinal plus petit que celui de $A$. Il suffit de consid\u00e9rer une application constante pour s'en convaincre.\">\n <input type=\"hidden\" id=\"false1\" value=\"\">\n <li> Soient $E$ et $F$ deux ensembles, et $f:E \\to F$ une application. On consid\u00e8re $A \\subset E$ un sous-ensemble $\\mathbf{fini}$ de $E$. Que dire de card($A$) et de card($f(A)$) ? (Par convention, card($C$)$=+\\infty$ si l'ensemble $C$ n'est pas fini). On choisira la r\u00e9ponse donnant le r\u00e9sultat le plus informatif possible. <\/li>\n <br>\n <FORM id=\"qcm1\">\n <INPUT TYPE=checkbox NAME=\"choix\"> \$ card(f(A)) \\leq card(A) \$<\/INPUT><BR><BR>\n <INPUT TYPE=checkbox NAME=\"choix\"> \$ card(f(A)) \\geq card(A) \$ <\/INPUT><BR><BR>\n <INPUT TYPE=checkbox NAME=\"choix\"> \$ card(f(A)) = card(A) \$<\/INPUT><BR><BR>\n <INPUT TYPE=checkbox NAME=\"choix\"> On ne peut rien affirmer en toute g\u00e9n\u00e9ralit\u00e9.<\/INPUT>\n <BR><BR>\n <\/FORM>\n <button onclick=\"choix_multiple(1,[true,false,false])\" id=\"box1\">V\u00e9rifier<\/button>\n <p id=\"message1\"><\/p> \n\n\n\n <input type=\"hidden\" id=\"true2\" value=\"Donnons quelques exemples. \n\t\t<BR> $\\cos^{-1}(\\{0\\}) = 2 \\pi \\mathbb Z$ n'est pas fini alors que $\\{0\\}$ est fini. \n\t\t<BR> $\\cos^{-1}(\\{2\\}) = \\emptyset$ est l'ensemble vide.\n\t\t<BR> $\\exp^{-1}(\\{1\\}) = \\{0\\}$ est un singleton.\">\n <input type=\"hidden\" id=\"false2\" value=\"\">\n <li> Soient $E$ et $F$ deux ensembles, et $f:E \\to F$ une application. On consid\u00e8re $B \\subset F$ un sous-ensemble $\\mathbf{fini}$ de $F$. Que dire de card($B$) et de card($f^{-1}(B)$) ? (Par convention, card($C$)$=+\\infty$ si l'ensemble $C$ n'est pas fini). On choisira la r\u00e9ponse donnant le r\u00e9sultat le plus informatif possible. <\/li>\n <br>\n <FORM id=\"qcm2\">\n <INPUT TYPE=checkbox NAME=\"choix\"> \$ card(f^{-1}(B)) \\leq card(B) \$<\/INPUT><BR><BR>\n <INPUT TYPE=checkbox NAME=\"choix\"> \$ card(f^{-1}(B)) \\geq card(B) \$ <\/INPUT><BR><BR>\n <INPUT TYPE=checkbox NAME=\"choix\"> \$ card(f^{-1}(B)) = card(B) \$<\/INPUT><BR><BR>\n <INPUT TYPE=checkbox NAME=\"choix\"> On ne peut rien affirmer en toute g\u00e9n\u00e9ralit\u00e9.<\/INPUT>\n <BR><BR>\n <\/FORM>\n <button onclick=\"choix_multiple(2,[false,false,false,true])\" id=\"box2\">V\u00e9rifier<\/button>\n <p id=\"message2\"><\/p> \n \n\n <input type=\"hidden\" id=\"true3\" value=\"En effet, $0$ n'admet pas d'ant\u00e9c\u00e9dent par $f$ et donc $f$ n'est pas surjective. Remarquons qu'en modifiant l'ensemble d'arriv\u00e9e de l'application $f$, on peut construire une fonction bijective. Ainsi, $g:\\mathbb N \\to \\mathbb N \\backslash \\{0\\}$ telle que $g(n)=f(n), \\; \\forall n \\in \\mathbb N$ est bijective.\">\n <input type=\"hidden\" id=\"false3\" value=\"\">\n <li> On consid\u00e8re $f:\\mathbb N \\to \\mathbb N$ telle que $f(n)=n+1$. <\/li>\n <br>\n <FORM id=\"qcm3\">\n <INPUT TYPE=checkbox NAME=\"choix\"> \$ f \$ est surjective et non injective<\/INPUT><BR><BR>\n <INPUT TYPE=checkbox NAME=\"choix\"> \$ f \$ est injective et non surjective<\/INPUT><BR><BR>\n <INPUT TYPE=checkbox NAME=\"choix\"> \$ f \$ est bijective<\/INPUT><BR><BR>\n <INPUT TYPE=checkbox NAME=\"choix\"> \$ f \$ n'est ni injective ni surjective<\/INPUT>\n <BR><BR>\n <\/FORM>\n <button onclick=\"choix_multiple(3,[false,true,false,false])\" id=\"box3\">V\u00e9rifier<\/button>\n <p id=\"message3\"><\/p> \n\n\n <input type=\"hidden\" id=\"true4\" value=\"\">\n <input type=\"hidden\" id=\"false4\" value=\"\">\n <li> On consid\u00e8re $f:\\mathbb R \\times \\mathbb R \\to \\mathbb R$ telle que $$\\forall (x,y) \\in \\mathbb R^2, \\quad f(x,y)=x^2+y^2.$$\n Cochez la ou les bonne(s) r\u00e9ponse(s). <\/li>\n <br>\n <FORM id=\"qcm4\">\n <INPUT TYPE=checkbox NAME=\"choix\"> \$ f^{-1}(\\{0\\})=\\{(0,0)\\} \$ <\/INPUT><BR><BR>\n <INPUT TYPE=checkbox NAME=\"choix\"> \$ f^{-1}(\\{1\\})=\\{(0,1)\\} \$ <\/INPUT><BR><BR>\n <INPUT TYPE=checkbox NAME=\"choix\"> \$ f^{-1}(\\{0\\})=\\{(0,1)\\} \$ <\/INPUT><BR><BR>\n <INPUT TYPE=checkbox NAME=\"choix\"> \$ f^{-1}(\\{1\\}) \$ est la cercle de centre $(0,0)$ et de rayon $1$<\/INPUT>\n <\/FORM>\n <button onclick=\"choix_multiple(4,[true,false,false,true])\" id=\"box4\">V\u00e9rifier<\/button>\n <p id=\"message4\"><\/p> \n\n\n <input type=\"hidden\" id=\"corrige5\" value=\"$1-f$ est la fonction caract\u00e9ristique de l'ensemble $\\overline{A}$. <br>$fg$ est la fonction caract\u00e9ristique de l'ensemble $A \\cap B$. <br>\n$f+g-fg$ est la fonction caract\u00e9ristique de l'ensemble $A \\cup B$. <br>\n$\\max(1,f+g)-fg$ est la fonction caract\u00e9ristique de l'ensemble $A \\Delta B$. On rappelle que la diff\u00e9rence sym\u00e9trique de $A$ et $B$ est $$ A\\Delta B = \\{x \\in E \\; | \\; x \\in (\\overline{A}\\cap B)\\cup (A\\cap \\overline{B}) \\}.$$ \">\n <li> Soit $ A$ une partie de $ E$, on appelle fonction caract\u00e9ristique de $ A$ l'application $ f$ de $ E$ dans l'ensemble \u00e0 deux \u00e9l\u00e9ments $ \\{0, 1\\}$, telle que :\n$$\\displaystyle f(x)=\\begin{cases} 0& \\text{ si } x\\notin A \\cr 1& \\text{ si } x \\in A \\cr \\end{cases}$$\n\nSoit $ A$ et $ B$ deux parties de $ E$, $ f$ et $ g$ leurs fonctions caract\u00e9ristiques. Montrer que les fonctions suivantes sont les fonctions caract\u00e9ristiques d'ensembles que l'on d\u00e9terminera : <br>\n$$ 1) \\quad 1-f \\quad \\quad 2) \\quad fg \\quad \\quad 3) \\quad f+g-fg \\quad \\quad 4) \\quad \\max(1,f+g)-fg..$$\n<\/li>\n <br>\n <button onclick=\"correction(5)\" id=\"box5\">Afficher le corrig\u00e9.<\/button>\n <p id=\"message5\"><\/p> \n\n\n\n <input type=\"hidden\" id=\"true6\" value=\"\">\n <input type=\"hidden\" id=\"false6\" value=\"\">\n <li> Dans un raisonnement par Analyse-Synth\u00e8se, la premi\u00e8re partie de la d\u00e9monstration (i.e. l'Analyse) consiste \u00e0 ... <\/li>\n <br>\n <FORM id=\"qcm6\">\n <INPUT TYPE=checkbox NAME=\"choix\"> ... extraire une (ou des) condition(s) n\u00e9cessaire(s) <\/INPUT><BR><BR>\n <INPUT TYPE=checkbox NAME=\"choix\"> ... extraire une (ou des) condition(s) suffisante(s)<\/INPUT>\n <\/FORM>\n <button onclick=\"choix_multiple(6,[true,false])\" id=\"box6\">V\u00e9rifier<\/button>\n <p id=\"message6\"><\/p> \n\n\n <input type=\"hidden\" id=\"true7\" value=\"\">\n <input type=\"hidden\" id=\"false7\" value=\"\">\n <li> Dans un raisonnement par Analyse-Synth\u00e8se, la seconde partie de la d\u00e9monstration (i.e. la Synth\u00e8se) consiste \u00e0 ... <\/li>\n <br>\n <FORM id=\"qcm7\">\n <INPUT TYPE=checkbox NAME=\"choix\"> ... montrer que la (ou les) condition(s) suffisante(s) extraite(s) lors de l'\u00e9tape d'Analyse sont n\u00e9cessaire(s)<\/INPUT><BR><BR>\n <INPUT TYPE=checkbox NAME=\"choix\"> ... montrer que la (ou les) condition(s) n\u00e9cessaire(s) extraite(s) lors de l'\u00e9tape d'Analyse sont suffisante(s)<\/INPUT>\n <\/FORM>\n <button onclick=\"choix_multiple(7,[false,true])\" id=\"box7\">V\u00e9rifier<\/button>\n <p id=\"message7\"><\/p> \n\n\n <input type=\"hidden\" id=\"true8\" value=\"En effet, si la proposition \u00e9tait vraie, cela signifierait que tout nombre entier peut s'\u00e9crire comme le carr\u00e9 d'un autre nombre entier. Un contre-exemple simple pour justifier que la proposition est fausse serait de remarquer $2$ n'admet comme diviseurs dans $\\mathbb N$ que $1$ et $2$. Or, $1^2 \\neq 2$ et $2^2 \\neq 2$. \">\n <input type=\"hidden\" id=\"false8\" value=\"\">\n <li> La proposition $\\forall n \\in \\mathbb N, \\; \\exists k \\in \\mathbb N, \\; n=k^2$ est-elle ... <\/li>\n <br>\n <FORM id=\"qcm8\">\n <INPUT TYPE=checkbox NAME=\"choix\"> ... vraie?<\/INPUT><BR><BR>\n <INPUT TYPE=checkbox NAME=\"choix\"> ... fausse?<\/INPUT>\n <\/FORM>\n <button onclick=\"choix_multiple(8,[false,true])\" id=\"box8\">V\u00e9rifier<\/button>\n <p id=\"message8\"><\/p> \n\n\n <input type=\"hidden\" id=\"true9\" value=\"Dans $\\mathcal P_1$, le quantificateur ''il existe'' est positionn\u00e9 avant le quantificateur ''quelque soit''. Cela signifie que la constante $k$ de la proposition $\\mathcal P_1$ doit \u00eatre choisie ind\u00e9pendamment de $n$. Autrement dit, la constante $k$ de la proposition doit \u00eatre universelle. Pour montrer que la proposition $\\mathcal P_1$ est fausse, un raisonnement par l'absurde est naturel. Dans la proposition $\\mathcal P_2$, le quantificateur ''il existe'' est positionn\u00e9 apr\u00e8s la quantificateur ''quelque soit''. Cela signifie que la constante $k$ de la proposition $\\mathcal P_1$ peut d\u00e9pendre de $n$. Ainsi, pour tout $n \\in \\mathbb N$, choisir $k=n^2$ convient et prouve que la proposition $\\mathcal P_2$ est vraie.\" >\n <li> On s'int\u00e9resse \u00e0 l'importance de l'ordre des quantificateurs dans une proposition. Soit $\\mathcal P_1$ la proposition $\\exists k \\in \\mathbb N, \\; \\forall n \\in \\mathbb N , \\; n^2=k$ et soit $\\mathcal P_2$ la proposition $\\forall n \\in \\mathbb N, \\; \\exists k \\in \\mathbb N, \\; n^2=k$. <\/li>\n <br>\n <FORM id=\"qcm9\">\n <INPUT TYPE=checkbox NAME=\"choix\"> $\\mathcal P_1$ et $\\mathcal P_2$ sont toutes les deux vraies.<\/INPUT><BR><BR>\n <INPUT TYPE=checkbox NAME=\"choix\"> $\\mathcal P_1$ est fausse et $\\mathcal P_2$ est vraie.<\/INPUT><BR><BR>\n <INPUT TYPE=checkbox NAME=\"choix\"> $\\mathcal P_1$ est vraie et $\\mathcal P_2$ est fausse.<\/INPUT><BR><BR>\n <INPUT TYPE=checkbox NAME=\"choix\"> $\\mathcal P_1$ et $\\mathcal P_2$ sont toutes les deux fausses.<\/INPUT>\n <\/FORM>\n <button onclick=\"choix_multiple(9,[false,true,false,false])\" id=\"box9\">V\u00e9rifier<\/button>\n <p id=\"message9\"><\/p> \n\n\n <input type=\"hidden\" id=\"corrige10\" value=\"Supposons $f$ et $g$ injectives. Soient $x_1,x_2 \\in E$ tels que $g(f(x_1))=g(f(x_2))$ $(*_1)$. Alors comme $g$ est injective, l'\u00e9galit\u00e9 $(*_1)$ implique que $f(x_1)=f(x_2)$ $(*_2)$. A pr\u00e9sent, l'injectivit\u00e9 de $f$ et $(*_2)$ implique que $x_1=x_2$. On en d\u00e9duit que si deux \u00e9l\u00e9ments de $E$, $x_1$ et $x_2$ ont m\u00eame image par $g\\circ f$, alors ils sont \u00e9gaux. Cela signifie que $g\\circ f$ est injective.\" >\n <li> Soient $E$, $F$ et $G$ trois ensembles. Soient $f: E \\to F$ et $g: F \\to G$ deux applications. Montrer que si $f$ et $g$ sont injectives alors $g \\circ f$ est injective. <\/li>\n <br>\n <button onclick=\"correction(10)\" id=\"box10\">Afficher le corrig\u00e9.<\/button>\n <p id=\"message10\"><\/p> \n\n\n <input type=\"hidden\" id=\"true11\" value=\"Voici un contre-exemple. Soient $g:\\mathbb R \\to \\mathbb N$ et $f:\\mathbb N \\to \\mathbb R$ telles que $$\\forall x \\in \\mathbb R, \\quad g(x)= \\left\\{\n \\begin{array}{ll}\n 0 & \\mbox{si } x \\notin \\mathbb N \\\\\n x & \\mbox{si } x \\in \\mathbb N\n \\end{array}\n\\right. \\qquad \\text{ et } \\quad \\forall n \\in \\mathbb N, \\quad f(n)=n.$$ Alors, $g \\circ f$ est la fonction identit\u00e9 de $\\mathbb N$ dans $\\mathbb N$ c'est-\u00e0-dire que pour tout $n \\in \\mathbb N$, $g(f(n))=n$. $g \\circ f$ est donc injective mais la fonction $g$ n'est pas injective de $\\mathbb R$ dans $\\mathbb N$ (par exemple car $g(1\/2)=g(3\/2)=0$).\" >\n <li> On s'int\u00e9resse \u00e0 la r\u00e9ciproque de la proposition de la question pr\u00e9c\u00e9dente. Est-ce que $g \\circ f$ injective implique $f$ et $g$ injectives ? <\/li>\n <br>\n <FORM id=\"qcm11\">\n <INPUT TYPE=checkbox NAME=\"choix\"> Oui<\/INPUT><BR><BR>\n <INPUT TYPE=checkbox NAME=\"choix\"> Non<\/INPUT>\n <\/FORM>\n <button onclick=\"choix_multiple(11,[false,true])\" id=\"box11\">V\u00e9rifier<\/button>\n <p id=\"message11\"><\/p> \n\n\n <input type=\"hidden\" id=\"true12\" value=\"\" >\n <li> Pour tout $n \\in \\mathbb N$, on note $E_n= \\{ 1, \\dots, n \\}$. On note $\\mathcal P(E_n)$ l\u2019ensemble des parties de $E_n$. Quelles sont les bonnes r\u00e9ponses ? <\/li>\n <br>\n <FORM id=\"qcm12\">\n <INPUT TYPE=checkbox NAME=\"choix\"> $\\mathcal P(E_2) = \\{\\{1\\},\\{2\\}\\}$<\/INPUT><BR><BR>\n <INPUT TYPE=checkbox NAME=\"choix\"> $\\mathcal P(E_2) = \\{\\emptyset, \\{1\\},\\{2\\}, E_2\\}$<\/INPUT><BR><BR>\n <INPUT TYPE=checkbox NAME=\"choix\"> card$( \\mathcal P(E_n)) = n$<\/INPUT><BR><BR>\n <INPUT TYPE=checkbox NAME=\"choix\"> card$( \\mathcal P(E_n)) = 2^n$<\/INPUT>\n <\/FORM>\n <button onclick=\"choix_multiple(12,[false,true,false,true])\" id=\"box12\">V\u00e9rifier<\/button>\n <p id=\"message12\"><\/p> \n\n\n <input type=\"hidden\" id=\"true13\" value=\"\" >\n <li> Soit $E$ un ensemble et soit $A \\subset E$ un sous-ensemble de $E$. Comment consid\u00e8re $X \\subset E$ de fa\u00e7on \u00e0 avoir $$(i) \\quad X \\cap A = A \\quad \\text{ et } \\quad (ii) \\quad X \\cup A = E ?$$<\/li>\n <br>\n <FORM id=\"qcm13\">\n <INPUT TYPE=checkbox NAME=\"choix\"> $X=\\overline{A}.$<\/INPUT><BR><BR>\n <INPUT TYPE=checkbox NAME=\"choix\"> $X= E.$<\/INPUT><BR><BR>\n <INPUT TYPE=checkbox NAME=\"choix\"> $X=A$.<\/INPUT><BR><BR>\n <INPUT TYPE=checkbox NAME=\"choix\"> Un tel ensemble $X$ n'existe pas.<\/INPUT>\n <\/FORM>\n <button onclick=\"choix_multiple(13,[false,true,false,false])\" id=\"box13\">V\u00e9rifier<\/button>\n <p id=\"message13\"><\/p> \n\n\n\n <input type=\"hidden\" id=\"corrige14\" value=\"V\u00e9rifions toutes les conditions pour montrer que les $(A_i)_{i \\in \\{1,2,3\\}}$ forment une partition de $E$. <br>\n- Pour tout $i,j \\in \\{1,2,3\\}$ avec $i \\neq j$, $A_i \\cap A_j= \\emptyset$ car pour tout $f \\in E$, l'image de $0$ par $f$ ne peut pas valoir \u00e0 la fois $i$ et $j$ (car $i \\neq j$). <br>\n- Pour tout $i \\in \\{1,2,3\\}$, $A_i \\neq \\emptyset $ car l'application constante $g_i$ d\u00e9finie par $g_i(n)=i$ pour tout $n \\in \\mathbb N$ appartient \u00e0 $A_i$. <br>\n- Soit $f \\in E$. Alors, notant $i=f(0)$, on a $f \\in A_i$ et donc $A_1 \\cup A_2 \\cup A_3 =E$. <br>\nAinsi, on a montr\u00e9 que les $(A_i)_{i \\in \\{1,2,3\\}}$ forment une partition de $E$. \" >\n <li> Soit $ E$ l'ensemble des fonctions de $ \\mathbb{N}$ dans $ \\left\\{ 1, 2, 3\\right\\}$. Pour $ i = 1, 2, 3$ on pose $ A_i = \\left\\{ f \\in E | f (0) = i \\right\\}$. Montrer que les $ A_i$ forment une partition de $ E$. <\/li>\n <br>\n <button onclick=\"correction(14)\" id=\"box14\">Afficher le corrig\u00e9.<\/button>\n <p id=\"message14\"><\/p> \n\n\n <input type=\"hidden\" id=\"true15\" value=\"\" >\n <li> Donner les positions relatives de $ A, B, C \\subset E$ si $ A \\cup B = B \\cap C$.<\/li>\n <br>\n <FORM id=\"qcm15\">\n <INPUT TYPE=checkbox NAME=\"choix\"> $B \\subset C \\subset A$.<\/INPUT><BR><BR>\n <INPUT TYPE=checkbox NAME=\"choix\"> $B \\subset A \\subset C$.<\/INPUT><BR><BR>\n <INPUT TYPE=checkbox NAME=\"choix\"> $A \\subset B \\subset C$.<\/INPUT><BR><BR>\n <INPUT TYPE=checkbox NAME=\"choix\"> $A \\subset C \\subset B$.<\/INPUT><BR><BR>\n <INPUT TYPE=checkbox NAME=\"choix\"> $C \\subset B \\subset A$.<\/INPUT><BR><BR>\n <INPUT TYPE=checkbox NAME=\"choix\"> $C \\subset A \\subset B$.<\/INPUT>\n <\/FORM>\n <button onclick=\"choix_multiple(15,[false,false,true,false,false,false])\" id=\"box15\">V\u00e9rifier<\/button>\n <p id=\"message15\"><\/p> \n\n\n <input type=\"hidden\" id=\"corrige16\" value=\"Soient $A,B \\in \\mathcal P(E)$ tels que $A \\neq B$. Quitte \u00e0 \u00e9changer les r\u00f4les de $A$ et $B$, on peut supposer qu'il existe $x \\in A \\backslash B=A \\cap \\overline{B}.$ Alors, $x \\in A\\cup B$ car $x$ appartient \u00e0 $A$, mais $x \\notin A \\cap B$ car $x$ n'appartient pas \u00e0 $B$. On en d\u00e9duit que $A \\cap B \\neq A \\cup B$. Par contrapos\u00e9e, on en d\u00e9duit la proposition de l'\u00e9nonc\u00e9.\" >\n <li> \nMontrer par contraposition l'assertion suivante, $ E$ \u00e9tant un ensemble :\n $$ \\forall A,B \\in \\mathcal{P}(E) \\quad (A\\cap B=A\\cup B)\\Rightarrow A=B,$$\n <br>\n <button onclick=\"correction(16)\" id=\"box16\">Afficher le corrig\u00e9.<\/button>\n <p id=\"message16\"><\/p> \n\n\n <input type=\"hidden\" id=\"corrige17\" value=\"Soient $A,B,C \\in \\mathcal P(E)$ tels que $B \\neq C$. Quitte \u00e0 \u00e9changer les r\u00f4les de $B$ et $C$, on peut supposer qu'il existe $x \\in B \\backslash C=B \\cap \\overline{C}.$ On distingue alors deux cas: <br>\n--> Si $x \\in A$, alors $x \\in A\\cap B$ (car $x$ appartient \u00e0 $A$ et \u00e0 $B$) mais $x \\notin A\\cap C$ (car $x$ n'appartient pas \u00e0 $C$). Donc, on a dans ce cas $$A\\cap B \\neq A \\cap C.$$\n--> Si $x \\notin A$, alors $x \\in A\\cup B$ (car $x$ appartient \u00e0 $B$) mais $x \\notin A\\cup C$ (car $x$ n'appartient ni \u00e0 $A$ ni \u00e0 $C$). Donc, on a dans ce cas $$A\\cup B \\neq A \\cup C.$$\n\nBILAN: Si $B \\neq C$, alors ($A\\cap B \\neq A \\cap C$ ou $A\\cup B \\neq A \\cup C$). Par contrapos\u00e9e, on obtient la proposition de l'\u00e9nonc\u00e9. En effet, on rappelle que la n\u00e9gation de la proposition ($A\\cap B \\neq A \\cap C$ ou $A\\cup B \\neq A \\cup C$) est ($A\\cap B = A \\cap C$ et $A\\cup B = A \\cup C$).\" >\n <li> \nMontrer par contraposition l'assertion suivante, $E$ \u00e9tant un ensemble :\n $$ \\forall A,B,C \\in \\mathcal{P}(E) \\quad (A\\cap B=A\\cap C \\text{ et } A\\cup B=A\\cup C)\\Rightarrow B=C.$$ <\/li>\n <br>\n <button onclick=\"correction(17)\" id=\"box17\">Afficher le corrig\u00e9.<\/button>\n <p id=\"message17\"><\/p> \n\n\n\n <input type=\"hidden\" id=\"true18\" value=\"\" >\n <li> \nSoit $\\displaystyle I_1=\\bigcap_{n=1}^{+\\infty}\\left[3,3+\\frac{1}{n^2}\\right[\\;$. \nOn a: <\/li>\n <br>\n <FORM id=\"qcm18\">\n <INPUT TYPE=checkbox NAME=\"choix\"> $I_1=\\emptyset$.<\/INPUT><BR><BR>\n <INPUT TYPE=checkbox NAME=\"choix\"> $I_1 = \\{3\\}$.<\/INPUT>\n <\/FORM>\n <button onclick=\"choix_multiple(18,[false,true])\" id=\"box18\">V\u00e9rifier<\/button>\n <p id=\"message18\"><\/p> \n\n\n\n <input type=\"hidden\" id=\"true19\" value=\"\" >\n <li> \nSoit $\\displaystyle \\; I_2=\\bigcap_{n=1}^{+\\infty}\\left]-2-\\frac{1}{n},4+\\frac{1}{n^2}\\right].$\nOn a: <\/li>\n <br>\n <FORM id=\"qcm19\">\n <INPUT TYPE=checkbox NAME=\"choix\"> $I_2=]-2,4]$.<\/INPUT><BR><BR>\n <INPUT TYPE=checkbox NAME=\"choix\"> $I_2=]-2,4[$.<\/INPUT><BR><BR>\n <INPUT TYPE=checkbox NAME=\"choix\"> $I_2=[-2,4]$.<\/INPUT><BR><BR>\n <INPUT TYPE=checkbox NAME=\"choix\"> $I_2 = [-2,4[$.<\/INPUT>\n <\/FORM>\n <button onclick=\"choix_multiple(19,[false,false,true,false])\" id=\"box19\">V\u00e9rifier<\/button>\n <p id=\"message19\"><\/p> \n\n\n <input type=\"hidden\" id=\"true20\" value=\"\" >\n <li> \nSoit $\\displaystyle \\; I_3=\\bigcup_{n=1}^{+\\infty}\\left[1+\\frac{1}{n},n\\right].$\nOn a: <\/li>\n <br>\n <FORM id=\"qcm20\">\n <INPUT TYPE=checkbox NAME=\"choix\"> $I_3=[1,+\\infty[$.<\/INPUT><BR><BR>\n <INPUT TYPE=checkbox NAME=\"choix\"> $I_2=]1,+\\infty[$.<\/INPUT>\n <\/FORM>\n <button onclick=\"choix_multiple(20,[false,true])\" id=\"box20\">V\u00e9rifier<\/button>\n <p id=\"message20\"><\/p> \n\n\n\n <input type=\"hidden\" id=\"corrige21\" value=\"--> Soit $m \\in E$. Il existe alors $n \\in \\mathbb N$ avec $n \\geq 2$ tel que $m \\in E_n$. On en d\u00e9duit qu'il existe $k \\in \\mathbb N$ avec $k \\geq 2$ tel que $m=n\\times k$. Comme $k$ et $n$ sont plus grands que $2$, on en d\u00e9duit que $m \\notin \\{0,1\\}$. De m\u00eame, comme $k$ et $n$ sont plus grands que $2$, $k \\notin \\{1,m\\}$ et $k$ divise $m$. Donc $m$ n'est pas premier. Ainsi, $m \\notin \\{0,1\\}\\cup \\mathcal P$. Par contrapos\u00e9e, il vient $$ \\{0,1\\}\\cup \\mathcal P \\subset \\mathbb N \\backslash E.$$ <br><br> \n --> Montrons l'autre inclusion. Soit $m \\in \\mathbb N \\backslash E$. Supposons par l'absurde que $ m \\notin \\{0,1\\}\\cup \\mathcal P$. Cela implique que $m$ admet un diviseur non trivial c'est-\u00e0-dire qu'il existe $k \\in \\{2, \\dots, m-1\\} $ tel que $k$ divise $m$. Il existe donc $n \\in \\{2, \\dots, m-1\\}$ tel que $m=nk$. Mais alors $m \\in E_n \\subset E$ et donc $m \\in E$. Ceci est absurde car on a choisi $m$ dans le compl\u00e9mentaire de $E$ dans $\\mathbb N$. On en d\u00e9duit donc que notre hypoth\u00e8se de d\u00e9part est fausse et donc que $m \\in \\{0,1\\}\\cup \\mathcal P$. Ainsi, $$ \\mathbb N \\backslash E \\subset \\{0,1\\}\\cup \\mathcal P .$$ <br><br>\n On a prouv\u00e9 par double inclusion que $$ \\mathbb N \\backslash E = \\{0,1\\}\\cup \\mathcal P .$$ \" >\n <li> Pour $n\\in \\mathbb N$,on d\u00e9finit l'ensemble $E_n=\\{kn|k\\in \\mathbb N, k\\geq 2\\}$. On pose: $$E=\\bigcup_{n \\in \\mathbb N,n\\geq 2}E_n, \\quad \\text{et} \\quad X=\\mathbb N\\backslash E.$$ Soit $\\mathcal P$ l'ensemble des nombres premiers. Montrer que $X=\\{0,1\\}\\cup \\mathcal P$. <\/li>\n <br>\n <button onclick=\"correction(21)\" id=\"box21\">Afficher le corrig\u00e9.<\/button>\n <p id=\"message21\"><\/p> \n\n\n\n\n\n <\/div>\n <\/div>\n <\/div>\n <\/section>\n <\/div>\n \n\n <\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Quentin Duchemin Soient $E$ et $F$ deux ensembles, et $f:E \\to F$ une application. On consid\u00e8re $A \\subset E$ un sous-ensemble $\\mathbf{fini}$ de $E$. Que dire de card($A$) et de card($f(A)$) ? (Par convention, card($C$)$=+\\infty$ si l’ensemble $C$ n’est pas fini). On choisira la r\u00e9ponse donnant le r\u00e9sultat le plus informatif possible. \\( card(f(A)) \\leq<\/p>\n<div class=\"more-link\">\n <a href=\"https:\/\/quentin-duchemin.alwaysdata.net\/wiki\/index.php\/658-2\/\" class=\"read-more\">Read More<i class=\"fa fa-caret-right\"><\/i><\/a>\n <\/div>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"parent":0,"menu_order":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","template":"","meta":[],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/quentin-duchemin.alwaysdata.net\/wiki\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/658"}],"collection":[{"href":"https:\/\/quentin-duchemin.alwaysdata.net\/wiki\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages"}],"about":[{"href":"https:\/\/quentin-duchemin.alwaysdata.net\/wiki\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/types\/page"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/quentin-duchemin.alwaysdata.net\/wiki\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/quentin-duchemin.alwaysdata.net\/wiki\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=658"}],"version-history":[{"count":13,"href":"https:\/\/quentin-duchemin.alwaysdata.net\/wiki\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/658\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":680,"href":"https:\/\/quentin-duchemin.alwaysdata.net\/wiki\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/658\/revisions\/680"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/quentin-duchemin.alwaysdata.net\/wiki\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=658"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}

{"id":658,"date":"2021-04-18T08:39:01","date_gmt":"2021-04-18T08:39:01","guid":{"rendered":"http:\/\/quentin-duchemin.alwaysdata.net\/wiki\/?page_id=658"},"modified":"2021-04-18T12:26:17","modified_gmt":"2021-04-18T12:26:17","slug":"658-2","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/quentin-duchemin.alwaysdata.net\/wiki\/index.php\/658-2\/","title":{"rendered":"Quizz de M\u00e9thodologie des math\u00e9matiques (2020\/2021)"},"content":{"rendered":"\n\n\n \n \n \n \n \n\n Quentin Duchemin<\/title>\n\n \n <link href=\"https:\/\/maxcdn.bootstrapcdn.com\/bootstrap\/3.3.5\/css\/bootstrap.min.css\" rel=\"stylesheet\">\n <link rel=\"stylesheet\" href=\"https:\/\/cdnjs.cloudflare.com\/ajax\/libs\/font-awesome\/4.7.0\/css\/font-awesome.min.css\">\n\n \n \n \n\n <script type=\"text\/javascript\">\nfunction myFunction(int) {\n \tdocument.getElementById(\"TRUE\"+int).style.backgroundColor = '#00FF00' ;\n \tdocument.getElementById(\"FALSE\"+int).style.backgroundColor = '#D3D3D3' ;\n var x = document.getElementById(\"true\"+int).value;\n document.getElementById(\"message\"+int).innerHTML = \"\";\n $(\"#message\"+int).append(x);\n MathJax.Hub.Queue([\"Typeset\",MathJax.Hub]) \n}\nfunction myFunction2(int) {\n\n document.getElementById(\"FALSE\"+int).style.backgroundColor ='#FF0000';\n document.getElementById(\"TRUE\"+int).style.backgroundColor = '#D3D3D3';\n\n var x = document.getElementById(\"false\"+int).value;\n document.getElementById(\"message\"+int).innerHTML = \"\";\n $(\"#message\"+int).append(x);\n MathJax.Hub.Queue([\"Typeset\",MathJax.Hub]) \n}\n\nfunction correction(int) {\n var x = document.getElementById(\"corrige\"+int).value;\n document.getElementById(\"message\"+int).innerHTML = \"\";\n $(\"#message\"+int).append(x);\n MathJax.Hub.Queue([\"Typeset\",MathJax.Hub]) \n}\n\n\nfunction choix_multiple(int,bools) {\n\tresult = true;\n\tfor (i = 0; i < bools.length; i++){\n\t\tif (bools[i]) {\n\t\t\tresult = result && (document.getElementById(\"qcm\"+int).choix[i].checked);\n\t\t}\n\t\telse {\n\t\t\tresult = result && !(document.getElementById(\"qcm\"+int).choix[i].checked);\n\t\t}\n\t} \n\tif (result) {\n\t\tdocument.getElementById(\"box\"+int).style.backgroundColor ='#00FF00';\n\t\tvar x = document.getElementById(\"true\"+int).value;\n \tdocument.getElementById(\"message\"+int).innerHTML = \"\";\n \t$(\"#message\"+int).append(x);\n \tMathJax.Hub.Queue([\"Typeset\",MathJax.Hub]) \n\t} else {\n\t\tdocument.getElementById(\"box\"+int).style.backgroundColor ='#FF0000';\n\t\tvar x = document.getElementById(\"false\"+int).value;\n \tdocument.getElementById(\"message\"+int).innerHTML = \"\";\n \t$(\"#message\"+int).append(x);\n \tMathJax.Hub.Queue([\"Typeset\",MathJax.Hub]) \n\t}\n}\n\n <\/script>\n\n<script src=\"https:\/\/ajax.googleapis.com\/ajax\/libs\/jquery\/2.1.1\/jquery.min.js\"><\/script>\n<script type=\"text\/javascript\"\n src=\"https:\/\/cdn.mathjax.org\/mathjax\/latest\/MathJax.js?config=TeX-AMS-MML_HTMLorMML\">\n <\/script>\n <script type=\"text\/x-mathjax-config\">\n MathJax.Hub.Config({\n tex2jax: {inlineMath: [[\"$\",\"$\"],[\"\\\$\",\"\\\$\"]]}\n });\n <\/script>\n <script type=\"text\/javascript\" src=\"http:\/\/latex.codecogs.com\/latexit.js\"><\/script>\n\n\n<\/head> \n\n\n <div id=\"content-area\">\n\n <input type=\"hidden\" id=\"true1\" value=\"En effet, tout \u00e9l\u00e9ment $x \\in A$ admet une unique image par $f$ dans $F$, mais l'ensemble $f(A)$ peut potentiellement \u00eatre de cardinal plus petit que celui de $A$. Il suffit de consid\u00e9rer une application constante pour s'en convaincre.\">\n <input type=\"hidden\" id=\"false1\" value=\"\">\n <li> Soient $E$ et $F$ deux ensembles, et $f:E \\to F$ une application. On consid\u00e8re $A \\subset E$ un sous-ensemble $\\mathbf{fini}$ de $E$. Que dire de card($A$) et de card($f(A)$) ? (Par convention, card($C$)$=+\\infty$ si l'ensemble $C$ n'est pas fini). On choisira la r\u00e9ponse donnant le r\u00e9sultat le plus informatif possible. <\/li>\n <br>\n <FORM id=\"qcm1\">\n <INPUT TYPE=checkbox NAME=\"choix\"> \$ card(f(A)) \\leq card(A) \$<\/INPUT><BR><BR>\n <INPUT TYPE=checkbox NAME=\"choix\"> \$ card(f(A)) \\geq card(A) \$ <\/INPUT><BR><BR>\n <INPUT TYPE=checkbox NAME=\"choix\"> \$ card(f(A)) = card(A) \$<\/INPUT><BR><BR>\n <INPUT TYPE=checkbox NAME=\"choix\"> On ne peut rien affirmer en toute g\u00e9n\u00e9ralit\u00e9.<\/INPUT>\n <BR><BR>\n <\/FORM>\n <button onclick=\"choix_multiple(1,[true,false,false])\" id=\"box1\">V\u00e9rifier<\/button>\n <p id=\"message1\"><\/p> \n\n\n\n <input type=\"hidden\" id=\"true2\" value=\"Donnons quelques exemples. \n\t\t<BR> $\\cos^{-1}(\\{0\\}) = 2 \\pi \\mathbb Z$ n'est pas fini alors que $\\{0\\}$ est fini. \n\t\t<BR> $\\cos^{-1}(\\{2\\}) = \\emptyset$ est l'ensemble vide.\n\t\t<BR> $\\exp^{-1}(\\{1\\}) = \\{0\\}$ est un singleton.\">\n <input type=\"hidden\" id=\"false2\" value=\"\">\n <li> Soient $E$ et $F$ deux ensembles, et $f:E \\to F$ une application. On consid\u00e8re $B \\subset F$ un sous-ensemble $\\mathbf{fini}$ de $F$. Que dire de card($B$) et de card($f^{-1}(B)$) ? (Par convention, card($C$)$=+\\infty$ si l'ensemble $C$ n'est pas fini). On choisira la r\u00e9ponse donnant le r\u00e9sultat le plus informatif possible. <\/li>\n <br>\n <FORM id=\"qcm2\">\n <INPUT TYPE=checkbox NAME=\"choix\"> \$ card(f^{-1}(B)) \\leq card(B) \$<\/INPUT><BR><BR>\n <INPUT TYPE=checkbox NAME=\"choix\"> \$ card(f^{-1}(B)) \\geq card(B) \$ <\/INPUT><BR><BR>\n <INPUT TYPE=checkbox NAME=\"choix\"> \$ card(f^{-1}(B)) = card(B) \$<\/INPUT><BR><BR>\n <INPUT TYPE=checkbox NAME=\"choix\"> On ne peut rien affirmer en toute g\u00e9n\u00e9ralit\u00e9.<\/INPUT>\n <BR><BR>\n <\/FORM>\n <button onclick=\"choix_multiple(2,[false,false,false,true])\" id=\"box2\">V\u00e9rifier<\/button>\n <p id=\"message2\"><\/p> \n \n\n <input type=\"hidden\" id=\"true3\" value=\"En effet, $0$ n'admet pas d'ant\u00e9c\u00e9dent par $f$ et donc $f$ n'est pas surjective. Remarquons qu'en modifiant l'ensemble d'arriv\u00e9e de l'application $f$, on peut construire une fonction bijective. Ainsi, $g:\\mathbb N \\to \\mathbb N \\backslash \\{0\\}$ telle que $g(n)=f(n), \\; \\forall n \\in \\mathbb N$ est bijective.\">\n <input type=\"hidden\" id=\"false3\" value=\"\">\n <li> On consid\u00e8re $f:\\mathbb N \\to \\mathbb N$ telle que $f(n)=n+1$. <\/li>\n <br>\n <FORM id=\"qcm3\">\n <INPUT TYPE=checkbox NAME=\"choix\"> \$ f \$ est surjective et non injective<\/INPUT><BR><BR>\n <INPUT TYPE=checkbox NAME=\"choix\"> \$ f \$ est injective et non surjective<\/INPUT><BR><BR>\n <INPUT TYPE=checkbox NAME=\"choix\"> \$ f \$ est bijective<\/INPUT><BR><BR>\n <INPUT TYPE=checkbox NAME=\"choix\"> \$ f \$ n'est ni injective ni surjective<\/INPUT>\n <BR><BR>\n <\/FORM>\n <button onclick=\"choix_multiple(3,[false,true,false,false])\" id=\"box3\">V\u00e9rifier<\/button>\n <p id=\"message3\"><\/p> \n\n\n <input type=\"hidden\" id=\"true4\" value=\"\">\n <input type=\"hidden\" id=\"false4\" value=\"\">\n <li> On consid\u00e8re $f:\\mathbb R \\times \\mathbb R \\to \\mathbb R$ telle que $$\\forall (x,y) \\in \\mathbb R^2, \\quad f(x,y)=x^2+y^2.$$\n Cochez la ou les bonne(s) r\u00e9ponse(s). <\/li>\n <br>\n <FORM id=\"qcm4\">\n <INPUT TYPE=checkbox NAME=\"choix\"> \$ f^{-1}(\\{0\\})=\\{(0,0)\\} \$ <\/INPUT><BR><BR>\n <INPUT TYPE=checkbox NAME=\"choix\"> \$ f^{-1}(\\{1\\})=\\{(0,1)\\} \$ <\/INPUT><BR><BR>\n <INPUT TYPE=checkbox NAME=\"choix\"> \$ f^{-1}(\\{0\\})=\\{(0,1)\\} \$ <\/INPUT><BR><BR>\n <INPUT TYPE=checkbox NAME=\"choix\"> \$ f^{-1}(\\{1\\}) \$ est la cercle de centre $(0,0)$ et de rayon $1$<\/INPUT>\n <\/FORM>\n <button onclick=\"choix_multiple(4,[true,false,false,true])\" id=\"box4\">V\u00e9rifier<\/button>\n <p id=\"message4\"><\/p> \n\n\n <input type=\"hidden\" id=\"corrige5\" value=\"$1-f$ est la fonction caract\u00e9ristique de l'ensemble $\\overline{A}$. <br>$fg$ est la fonction caract\u00e9ristique de l'ensemble $A \\cap B$. <br>\n$f+g-fg$ est la fonction caract\u00e9ristique de l'ensemble $A \\cup B$. <br>\n$\\max(1,f+g)-fg$ est la fonction caract\u00e9ristique de l'ensemble $A \\Delta B$. On rappelle que la diff\u00e9rence sym\u00e9trique de $A$ et $B$ est $$ A\\Delta B = \\{x \\in E \\; | \\; x \\in (\\overline{A}\\cap B)\\cup (A\\cap \\overline{B}) \\}.$$ \">\n <li> Soit $ A$ une partie de $ E$, on appelle fonction caract\u00e9ristique de $ A$ l'application $ f$ de $ E$ dans l'ensemble \u00e0 deux \u00e9l\u00e9ments $ \\{0, 1\\}$, telle que :\n$$\\displaystyle f(x)=\\begin{cases} 0& \\text{ si } x\\notin A \\cr 1& \\text{ si } x \\in A \\cr \\end{cases}$$\n\nSoit $ A$ et $ B$ deux parties de $ E$, $ f$ et $ g$ leurs fonctions caract\u00e9ristiques. Montrer que les fonctions suivantes sont les fonctions caract\u00e9ristiques d'ensembles que l'on d\u00e9terminera : <br>\n$$ 1) \\quad 1-f \\quad \\quad 2) \\quad fg \\quad \\quad 3) \\quad f+g-fg \\quad \\quad 4) \\quad \\max(1,f+g)-fg..$$\n<\/li>\n <br>\n <button onclick=\"correction(5)\" id=\"box5\">Afficher le corrig\u00e9.<\/button>\n <p id=\"message5\"><\/p> \n\n\n\n <input type=\"hidden\" id=\"true6\" value=\"\">\n <input type=\"hidden\" id=\"false6\" value=\"\">\n <li> Dans un raisonnement par Analyse-Synth\u00e8se, la premi\u00e8re partie de la d\u00e9monstration (i.e. l'Analyse) consiste \u00e0 ... <\/li>\n <br>\n <FORM id=\"qcm6\">\n <INPUT TYPE=checkbox NAME=\"choix\"> ... extraire une (ou des) condition(s) n\u00e9cessaire(s) <\/INPUT><BR><BR>\n <INPUT TYPE=checkbox NAME=\"choix\"> ... extraire une (ou des) condition(s) suffisante(s)<\/INPUT>\n <\/FORM>\n <button onclick=\"choix_multiple(6,[true,false])\" id=\"box6\">V\u00e9rifier<\/button>\n <p id=\"message6\"><\/p> \n\n\n <input type=\"hidden\" id=\"true7\" value=\"\">\n <input type=\"hidden\" id=\"false7\" value=\"\">\n <li> Dans un raisonnement par Analyse-Synth\u00e8se, la seconde partie de la d\u00e9monstration (i.e. la Synth\u00e8se) consiste \u00e0 ... <\/li>\n <br>\n <FORM id=\"qcm7\">\n <INPUT TYPE=checkbox NAME=\"choix\"> ... montrer que la (ou les) condition(s) suffisante(s) extraite(s) lors de l'\u00e9tape d'Analyse sont n\u00e9cessaire(s)<\/INPUT><BR><BR>\n <INPUT TYPE=checkbox NAME=\"choix\"> ... montrer que la (ou les) condition(s) n\u00e9cessaire(s) extraite(s) lors de l'\u00e9tape d'Analyse sont suffisante(s)<\/INPUT>\n <\/FORM>\n <button onclick=\"choix_multiple(7,[false,true])\" id=\"box7\">V\u00e9rifier<\/button>\n <p id=\"message7\"><\/p> \n\n\n <input type=\"hidden\" id=\"true8\" value=\"En effet, si la proposition \u00e9tait vraie, cela signifierait que tout nombre entier peut s'\u00e9crire comme le carr\u00e9 d'un autre nombre entier. Un contre-exemple simple pour justifier que la proposition est fausse serait de remarquer $2$ n'admet comme diviseurs dans $\\mathbb N$ que $1$ et $2$. Or, $1^2 \\neq 2$ et $2^2 \\neq 2$. \">\n <input type=\"hidden\" id=\"false8\" value=\"\">\n <li> La proposition $\\forall n \\in \\mathbb N, \\; \\exists k \\in \\mathbb N, \\; n=k^2$ est-elle ... <\/li>\n <br>\n <FORM id=\"qcm8\">\n <INPUT TYPE=checkbox NAME=\"choix\"> ... vraie?<\/INPUT><BR><BR>\n <INPUT TYPE=checkbox NAME=\"choix\"> ... fausse?<\/INPUT>\n <\/FORM>\n <button onclick=\"choix_multiple(8,[false,true])\" id=\"box8\">V\u00e9rifier<\/button>\n <p id=\"message8\"><\/p> \n\n\n <input type=\"hidden\" id=\"true9\" value=\"Dans $\\mathcal P_1$, le quantificateur ''il existe'' est positionn\u00e9 avant le quantificateur ''quelque soit''. Cela signifie que la constante $k$ de la proposition $\\mathcal P_1$ doit \u00eatre choisie ind\u00e9pendamment de $n$. Autrement dit, la constante $k$ de la proposition doit \u00eatre universelle. Pour montrer que la proposition $\\mathcal P_1$ est fausse, un raisonnement par l'absurde est naturel. Dans la proposition $\\mathcal P_2$, le quantificateur ''il existe'' est positionn\u00e9 apr\u00e8s la quantificateur ''quelque soit''. Cela signifie que la constante $k$ de la proposition $\\mathcal P_1$ peut d\u00e9pendre de $n$. Ainsi, pour tout $n \\in \\mathbb N$, choisir $k=n^2$ convient et prouve que la proposition $\\mathcal P_2$ est vraie.\" >\n <li> On s'int\u00e9resse \u00e0 l'importance de l'ordre des quantificateurs dans une proposition. Soit $\\mathcal P_1$ la proposition $\\exists k \\in \\mathbb N, \\; \\forall n \\in \\mathbb N , \\; n^2=k$ et soit $\\mathcal P_2$ la proposition $\\forall n \\in \\mathbb N, \\; \\exists k \\in \\mathbb N, \\; n^2=k$. <\/li>\n <br>\n <FORM id=\"qcm9\">\n <INPUT TYPE=checkbox NAME=\"choix\"> $\\mathcal P_1$ et $\\mathcal P_2$ sont toutes les deux vraies.<\/INPUT><BR><BR>\n <INPUT TYPE=checkbox NAME=\"choix\"> $\\mathcal P_1$ est fausse et $\\mathcal P_2$ est vraie.<\/INPUT><BR><BR>\n <INPUT TYPE=checkbox NAME=\"choix\"> $\\mathcal P_1$ est vraie et $\\mathcal P_2$ est fausse.<\/INPUT><BR><BR>\n <INPUT TYPE=checkbox NAME=\"choix\"> $\\mathcal P_1$ et $\\mathcal P_2$ sont toutes les deux fausses.<\/INPUT>\n <\/FORM>\n <button onclick=\"choix_multiple(9,[false,true,false,false])\" id=\"box9\">V\u00e9rifier<\/button>\n <p id=\"message9\"><\/p> \n\n\n <input type=\"hidden\" id=\"corrige10\" value=\"Supposons $f$ et $g$ injectives. Soient $x_1,x_2 \\in E$ tels que $g(f(x_1))=g(f(x_2))$ $(*_1)$. Alors comme $g$ est injective, l'\u00e9galit\u00e9 $(*_1)$ implique que $f(x_1)=f(x_2)$ $(*_2)$. A pr\u00e9sent, l'injectivit\u00e9 de $f$ et $(*_2)$ implique que $x_1=x_2$. On en d\u00e9duit que si deux \u00e9l\u00e9ments de $E$, $x_1$ et $x_2$ ont m\u00eame image par $g\\circ f$, alors ils sont \u00e9gaux. Cela signifie que $g\\circ f$ est injective.\" >\n <li> Soient $E$, $F$ et $G$ trois ensembles. Soient $f: E \\to F$ et $g: F \\to G$ deux applications. Montrer que si $f$ et $g$ sont injectives alors $g \\circ f$ est injective. <\/li>\n <br>\n <button onclick=\"correction(10)\" id=\"box10\">Afficher le corrig\u00e9.<\/button>\n <p id=\"message10\"><\/p> \n\n\n <input type=\"hidden\" id=\"true11\" value=\"Voici un contre-exemple. Soient $g:\\mathbb R \\to \\mathbb N$ et $f:\\mathbb N \\to \\mathbb R$ telles que $$\\forall x \\in \\mathbb R, \\quad g(x)= \\left\\{\n \\begin{array}{ll}\n 0 & \\mbox{si } x \\notin \\mathbb N \\\\\n x & \\mbox{si } x \\in \\mathbb N\n \\end{array}\n\\right. \\qquad \\text{ et } \\quad \\forall n \\in \\mathbb N, \\quad f(n)=n.$$ Alors, $g \\circ f$ est la fonction identit\u00e9 de $\\mathbb N$ dans $\\mathbb N$ c'est-\u00e0-dire que pour tout $n \\in \\mathbb N$, $g(f(n))=n$. $g \\circ f$ est donc injective mais la fonction $g$ n'est pas injective de $\\mathbb R$ dans $\\mathbb N$ (par exemple car $g(1\/2)=g(3\/2)=0$).\" >\n <li> On s'int\u00e9resse \u00e0 la r\u00e9ciproque de la proposition de la question pr\u00e9c\u00e9dente. Est-ce que $g \\circ f$ injective implique $f$ et $g$ injectives ? <\/li>\n <br>\n <FORM id=\"qcm11\">\n <INPUT TYPE=checkbox NAME=\"choix\"> Oui<\/INPUT><BR><BR>\n <INPUT TYPE=checkbox NAME=\"choix\"> Non<\/INPUT>\n <\/FORM>\n <button onclick=\"choix_multiple(11,[false,true])\" id=\"box11\">V\u00e9rifier<\/button>\n <p id=\"message11\"><\/p> \n\n\n <input type=\"hidden\" id=\"true12\" value=\"\" >\n <li> Pour tout $n \\in \\mathbb N$, on note $E_n= \\{ 1, \\dots, n \\}$. On note $\\mathcal P(E_n)$ l\u2019ensemble des parties de $E_n$. Quelles sont les bonnes r\u00e9ponses ? <\/li>\n <br>\n <FORM id=\"qcm12\">\n <INPUT TYPE=checkbox NAME=\"choix\"> $\\mathcal P(E_2) = \\{\\{1\\},\\{2\\}\\}$<\/INPUT><BR><BR>\n <INPUT TYPE=checkbox NAME=\"choix\"> $\\mathcal P(E_2) = \\{\\emptyset, \\{1\\},\\{2\\}, E_2\\}$<\/INPUT><BR><BR>\n <INPUT TYPE=checkbox NAME=\"choix\"> card$( \\mathcal P(E_n)) = n$<\/INPUT><BR><BR>\n <INPUT TYPE=checkbox NAME=\"choix\"> card$( \\mathcal P(E_n)) = 2^n$<\/INPUT>\n <\/FORM>\n <button onclick=\"choix_multiple(12,[false,true,false,true])\" id=\"box12\">V\u00e9rifier<\/button>\n <p id=\"message12\"><\/p> \n\n\n <input type=\"hidden\" id=\"true13\" value=\"\" >\n <li> Soit $E$ un ensemble et soit $A \\subset E$ un sous-ensemble de $E$. Comment consid\u00e8re $X \\subset E$ de fa\u00e7on \u00e0 avoir $$(i) \\quad X \\cap A = A \\quad \\text{ et } \\quad (ii) \\quad X \\cup A = E ?$$<\/li>\n <br>\n <FORM id=\"qcm13\">\n <INPUT TYPE=checkbox NAME=\"choix\"> $X=\\overline{A}.$<\/INPUT><BR><BR>\n <INPUT TYPE=checkbox NAME=\"choix\"> $X= E.$<\/INPUT><BR><BR>\n <INPUT TYPE=checkbox NAME=\"choix\"> $X=A$.<\/INPUT><BR><BR>\n <INPUT TYPE=checkbox NAME=\"choix\"> Un tel ensemble $X$ n'existe pas.<\/INPUT>\n <\/FORM>\n <button onclick=\"choix_multiple(13,[false,true,false,false])\" id=\"box13\">V\u00e9rifier<\/button>\n <p id=\"message13\"><\/p> \n\n\n\n <input type=\"hidden\" id=\"corrige14\" value=\"V\u00e9rifions toutes les conditions pour montrer que les $(A_i)_{i \\in \\{1,2,3\\}}$ forment une partition de $E$. <br>\n- Pour tout $i,j \\in \\{1,2,3\\}$ avec $i \\neq j$, $A_i \\cap A_j= \\emptyset$ car pour tout $f \\in E$, l'image de $0$ par $f$ ne peut pas valoir \u00e0 la fois $i$ et $j$ (car $i \\neq j$). <br>\n- Pour tout $i \\in \\{1,2,3\\}$, $A_i \\neq \\emptyset $ car l'application constante $g_i$ d\u00e9finie par $g_i(n)=i$ pour tout $n \\in \\mathbb N$ appartient \u00e0 $A_i$. <br>\n- Soit $f \\in E$. Alors, notant $i=f(0)$, on a $f \\in A_i$ et donc $A_1 \\cup A_2 \\cup A_3 =E$. <br>\nAinsi, on a montr\u00e9 que les $(A_i)_{i \\in \\{1,2,3\\}}$ forment une partition de $E$. \" >\n <li> Soit $ E$ l'ensemble des fonctions de $ \\mathbb{N}$ dans $ \\left\\{ 1, 2, 3\\right\\}$. Pour $ i = 1, 2, 3$ on pose $ A_i = \\left\\{ f \\in E | f (0) = i \\right\\}$. Montrer que les $ A_i$ forment une partition de $ E$. <\/li>\n <br>\n <button onclick=\"correction(14)\" id=\"box14\">Afficher le corrig\u00e9.<\/button>\n <p id=\"message14\"><\/p> \n\n\n <input type=\"hidden\" id=\"true15\" value=\"\" >\n <li> Donner les positions relatives de $ A, B, C \\subset E$ si $ A \\cup B = B \\cap C$.<\/li>\n <br>\n <FORM id=\"qcm15\">\n <INPUT TYPE=checkbox NAME=\"choix\"> $B \\subset C \\subset A$.<\/INPUT><BR><BR>\n <INPUT TYPE=checkbox NAME=\"choix\"> $B \\subset A \\subset C$.<\/INPUT><BR><BR>\n <INPUT TYPE=checkbox NAME=\"choix\"> $A \\subset B \\subset C$.<\/INPUT><BR><BR>\n <INPUT TYPE=checkbox NAME=\"choix\"> $A \\subset C \\subset B$.<\/INPUT><BR><BR>\n <INPUT TYPE=checkbox NAME=\"choix\"> $C \\subset B \\subset A$.<\/INPUT><BR><BR>\n <INPUT TYPE=checkbox NAME=\"choix\"> $C \\subset A \\subset B$.<\/INPUT>\n <\/FORM>\n <button onclick=\"choix_multiple(15,[false,false,true,false,false,false])\" id=\"box15\">V\u00e9rifier<\/button>\n <p id=\"message15\"><\/p> \n\n\n <input type=\"hidden\" id=\"corrige16\" value=\"Soient $A,B \\in \\mathcal P(E)$ tels que $A \\neq B$. Quitte \u00e0 \u00e9changer les r\u00f4les de $A$ et $B$, on peut supposer qu'il existe $x \\in A \\backslash B=A \\cap \\overline{B}.$ Alors, $x \\in A\\cup B$ car $x$ appartient \u00e0 $A$, mais $x \\notin A \\cap B$ car $x$ n'appartient pas \u00e0 $B$. On en d\u00e9duit que $A \\cap B \\neq A \\cup B$. Par contrapos\u00e9e, on en d\u00e9duit la proposition de l'\u00e9nonc\u00e9.\" >\n <li> \nMontrer par contraposition l'assertion suivante, $ E$ \u00e9tant un ensemble :\n $$ \\forall A,B \\in \\mathcal{P}(E) \\quad (A\\cap B=A\\cup B)\\Rightarrow A=B,$$\n <br>\n <button onclick=\"correction(16)\" id=\"box16\">Afficher le corrig\u00e9.<\/button>\n <p id=\"message16\"><\/p> \n\n\n <input type=\"hidden\" id=\"corrige17\" value=\"Soient $A,B,C \\in \\mathcal P(E)$ tels que $B \\neq C$. Quitte \u00e0 \u00e9changer les r\u00f4les de $B$ et $C$, on peut supposer qu'il existe $x \\in B \\backslash C=B \\cap \\overline{C}.$ On distingue alors deux cas: <br>\n--> Si $x \\in A$, alors $x \\in A\\cap B$ (car $x$ appartient \u00e0 $A$ et \u00e0 $B$) mais $x \\notin A\\cap C$ (car $x$ n'appartient pas \u00e0 $C$). Donc, on a dans ce cas $$A\\cap B \\neq A \\cap C.$$\n--> Si $x \\notin A$, alors $x \\in A\\cup B$ (car $x$ appartient \u00e0 $B$) mais $x \\notin A\\cup C$ (car $x$ n'appartient ni \u00e0 $A$ ni \u00e0 $C$). Donc, on a dans ce cas $$A\\cup B \\neq A \\cup C.$$\n\nBILAN: Si $B \\neq C$, alors ($A\\cap B \\neq A \\cap C$ ou $A\\cup B \\neq A \\cup C$). Par contrapos\u00e9e, on obtient la proposition de l'\u00e9nonc\u00e9. En effet, on rappelle que la n\u00e9gation de la proposition ($A\\cap B \\neq A \\cap C$ ou $A\\cup B \\neq A \\cup C$) est ($A\\cap B = A \\cap C$ et $A\\cup B = A \\cup C$).\" >\n <li> \nMontrer par contraposition l'assertion suivante, $E$ \u00e9tant un ensemble :\n $$ \\forall A,B,C \\in \\mathcal{P}(E) \\quad (A\\cap B=A\\cap C \\text{ et } A\\cup B=A\\cup C)\\Rightarrow B=C.$$ <\/li>\n <br>\n <button onclick=\"correction(17)\" id=\"box17\">Afficher le corrig\u00e9.<\/button>\n <p id=\"message17\"><\/p> \n\n\n\n <input type=\"hidden\" id=\"true18\" value=\"\" >\n <li> \nSoit $\\displaystyle I_1=\\bigcap_{n=1}^{+\\infty}\\left[3,3+\\frac{1}{n^2}\\right[\\;$. \nOn a: <\/li>\n <br>\n <FORM id=\"qcm18\">\n <INPUT TYPE=checkbox NAME=\"choix\"> $I_1=\\emptyset$.<\/INPUT><BR><BR>\n <INPUT TYPE=checkbox NAME=\"choix\"> $I_1 = \\{3\\}$.<\/INPUT>\n <\/FORM>\n <button onclick=\"choix_multiple(18,[false,true])\" id=\"box18\">V\u00e9rifier<\/button>\n <p id=\"message18\"><\/p> \n\n\n\n <input type=\"hidden\" id=\"true19\" value=\"\" >\n <li> \nSoit $\\displaystyle \\; I_2=\\bigcap_{n=1}^{+\\infty}\\left]-2-\\frac{1}{n},4+\\frac{1}{n^2}\\right].$\nOn a: <\/li>\n <br>\n <FORM id=\"qcm19\">\n <INPUT TYPE=checkbox NAME=\"choix\"> $I_2=]-2,4]$.<\/INPUT><BR><BR>\n <INPUT TYPE=checkbox NAME=\"choix\"> $I_2=]-2,4[$.<\/INPUT><BR><BR>\n <INPUT TYPE=checkbox NAME=\"choix\"> $I_2=[-2,4]$.<\/INPUT><BR><BR>\n <INPUT TYPE=checkbox NAME=\"choix\"> $I_2 = [-2,4[$.<\/INPUT>\n <\/FORM>\n <button onclick=\"choix_multiple(19,[false,false,true,false])\" id=\"box19\">V\u00e9rifier<\/button>\n <p id=\"message19\"><\/p> \n\n\n <input type=\"hidden\" id=\"true20\" value=\"\" >\n <li> \nSoit $\\displaystyle \\; I_3=\\bigcup_{n=1}^{+\\infty}\\left[1+\\frac{1}{n},n\\right].$\nOn a: <\/li>\n <br>\n <FORM id=\"qcm20\">\n <INPUT TYPE=checkbox NAME=\"choix\"> $I_3=[1,+\\infty[$.<\/INPUT><BR><BR>\n <INPUT TYPE=checkbox NAME=\"choix\"> $I_2=]1,+\\infty[$.<\/INPUT>\n <\/FORM>\n <button onclick=\"choix_multiple(20,[false,true])\" id=\"box20\">V\u00e9rifier<\/button>\n <p id=\"message20\"><\/p> \n\n\n\n <input type=\"hidden\" id=\"corrige21\" value=\"--> Soit $m \\in E$. Il existe alors $n \\in \\mathbb N$ avec $n \\geq 2$ tel que $m \\in E_n$. On en d\u00e9duit qu'il existe $k \\in \\mathbb N$ avec $k \\geq 2$ tel que $m=n\\times k$. Comme $k$ et $n$ sont plus grands que $2$, on en d\u00e9duit que $m \\notin \\{0,1\\}$. De m\u00eame, comme $k$ et $n$ sont plus grands que $2$, $k \\notin \\{1,m\\}$ et $k$ divise $m$. Donc $m$ n'est pas premier. Ainsi, $m \\notin \\{0,1\\}\\cup \\mathcal P$. Par contrapos\u00e9e, il vient $$ \\{0,1\\}\\cup \\mathcal P \\subset \\mathbb N \\backslash E.$$ <br><br> \n --> Montrons l'autre inclusion. Soit $m \\in \\mathbb N \\backslash E$. Supposons par l'absurde que $ m \\notin \\{0,1\\}\\cup \\mathcal P$. Cela implique que $m$ admet un diviseur non trivial c'est-\u00e0-dire qu'il existe $k \\in \\{2, \\dots, m-1\\} $ tel que $k$ divise $m$. Il existe donc $n \\in \\{2, \\dots, m-1\\}$ tel que $m=nk$. Mais alors $m \\in E_n \\subset E$ et donc $m \\in E$. Ceci est absurde car on a choisi $m$ dans le compl\u00e9mentaire de $E$ dans $\\mathbb N$. On en d\u00e9duit donc que notre hypoth\u00e8se de d\u00e9part est fausse et donc que $m \\in \\{0,1\\}\\cup \\mathcal P$. Ainsi, $$ \\mathbb N \\backslash E \\subset \\{0,1\\}\\cup \\mathcal P .$$ <br><br>\n On a prouv\u00e9 par double inclusion que $$ \\mathbb N \\backslash E = \\{0,1\\}\\cup \\mathcal P .$$ \" >\n <li> Pour $n\\in \\mathbb N$,on d\u00e9finit l'ensemble $E_n=\\{kn|k\\in \\mathbb N, k\\geq 2\\}$. On pose: $$E=\\bigcup_{n \\in \\mathbb N,n\\geq 2}E_n, \\quad \\text{et} \\quad X=\\mathbb N\\backslash E.$$ Soit $\\mathcal P$ l'ensemble des nombres premiers. Montrer que $X=\\{0,1\\}\\cup \\mathcal P$. <\/li>\n <br>\n <button onclick=\"correction(21)\" id=\"box21\">Afficher le corrig\u00e9.<\/button>\n <p id=\"message21\"><\/p> \n\n\n\n\n\n <\/div>\n <\/div>\n <\/div>\n <\/section>\n <\/div>\n \n\n <\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Quentin Duchemin Soient $E$ et $F$ deux ensembles, et $f:E \\to F$ une application. On consid\u00e8re $A \\subset E$ un sous-ensemble $\\mathbf{fini}$ de $E$. Que dire de card($A$) et de card($f(A)$) ? (Par convention, card($C$)$=+\\infty$ si l’ensemble $C$ n’est pas fini). On choisira la r\u00e9ponse donnant le r\u00e9sultat le plus informatif possible. \\( card(f(A)) \\leq<\/p>\n<div class=\"more-link\">\n <a href=\"https:\/\/quentin-duchemin.alwaysdata.net\/wiki\/index.php\/658-2\/\" class=\"read-more\">Read More<i class=\"fa fa-caret-right\"><\/i><\/a>\n <\/div>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"parent":0,"menu_order":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","template":"","meta":[],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/quentin-duchemin.alwaysdata.net\/wiki\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/658"}],"collection":[{"href":"https:\/\/quentin-duchemin.alwaysdata.net\/wiki\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages"}],"about":[{"href":"https:\/\/quentin-duchemin.alwaysdata.net\/wiki\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/types\/page"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/quentin-duchemin.alwaysdata.net\/wiki\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/quentin-duchemin.alwaysdata.net\/wiki\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=658"}],"version-history":[{"count":13,"href":"https:\/\/quentin-duchemin.alwaysdata.net\/wiki\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/658\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":680,"href":"https:\/\/quentin-duchemin.alwaysdata.net\/wiki\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/658\/revisions\/680"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/quentin-duchemin.alwaysdata.net\/wiki\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=658"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}